【題目】(1)如圖1所示,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在斜邊AB上,點(diǎn)E在直角邊BC上,若∠CDE=45°,求證:△ACD∽△BDE.

(2)如圖2所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=10cm,點(diǎn)EBC上,連接AE,過(guò)點(diǎn)EEFAECD(或CD的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)F.

①若BE:EC=1:9,求CF的長(zhǎng);

②若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫出圖形,并求BE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①CF=;②BE的長(zhǎng)為2cm8cm

【解析】

(1)由等腰直角三角形性質(zhì)知∠A=∠B=45°、∠ACD+∠ADC=135°,根據(jù)∠CDE=45°∠ADC+∠BDE=135°,據(jù)此得出∠BDE=∠ACD,從而得證;
(2)①由矩形的性質(zhì)及EF⊥AE∠BAE+∠AEB=90°、∠CEF+∠BEA=90°,得出∠BAE=∠CEF,即可證△BAE∽△CEF=,據(jù)此計(jì)算可得;
設(shè)BE=xcm,由△BAE∽△CEF,據(jù)此知=,即=,解之即可.

解:(1)∵在RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠A=B=45°,

∴∠ACD+ADC=135°,

∵∠CDE=45°,

∴∠ADC+BDE=135°,

∴∠BDE=ACD,

∴△ACD∽△BDE;

(2)①∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=C=90°,

∴∠BAE+AEB=90°,

∵∠AEF=90°,

∴∠CEF+BEA=90°,

∴∠BAE=CEF,

∴△BAE∽△CEF,

=,

BE:EC=1:9,

BE=BC=1cm,CE=9cm,

=,CF=;

②如圖所示,設(shè)BE=xcm,

由①得BAE∽△CEF,

=,即=,

整理,得:x2﹣10x+16=0,

解得:x1=2,x2=8,

所以BE的長(zhǎng)為2cm8cm.

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b24ac>0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;

b=a+c,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根符號(hào)相同,那么方程cx2+bx+a=0(c≠0)的兩根符號(hào)也相同.

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若點(diǎn)上(如圖①),此時(shí),可得結(jié)論:.

請(qǐng)應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題:

當(dāng)點(diǎn)分別在內(nèi)(如圖②),外(如圖③)時(shí),上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,,,與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)寫出你的猜想,不需要證明.

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(1)猜想DGCF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

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(2)利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺作圖,保留痕跡,不寫作法.

①如圖2,在AB上找點(diǎn)P,使得AP:PB=1:3;

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