Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，反比例函數(shù)y= （k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（m，2）和AB邊上的點(diǎn)E（3， ）．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和m的值；
（2）將矩形OABC的進(jìn)行折疊，使點(diǎn)O于點(diǎn)D重合，折痕分別與x軸、y軸正半軸交于點(diǎn)F，G，求折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數(shù)y= （k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E（3， ），

∴k=3× =2，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y= ．

又∵點(diǎn)D（m，2）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴2m=2，解得：m=1

（2）解：設(shè)OG=x，則CG=OC﹣OG=2﹣x，

∵點(diǎn)D（1，2），

∴CD=1．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，

解得：x= ，

∴點(diǎn)G（0， ）．

過點(diǎn)F作FH⊥CB于點(diǎn)H，如圖所示．

由折疊的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．

∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴ =2，

∴DF=2GD= ，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ，0）．

設(shè)折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，

∴有 ，解得： ．

∴折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣ x+

【解析】（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，再由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，代入即可求出m值；（2）設(shè)OG=x，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點(diǎn)G的坐標(biāo)．再過點(diǎn)F作FH⊥CB于點(diǎn)H，由此可得出△GCD∽△DHF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出線段DF的長度，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)G、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論．