Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線FA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，連接DM并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2，4)，試求經(jīng)過(guò)D、O、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（3）若坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P和三點(diǎn)D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）y=x2-x；（3）P1（-，4），P2（，4），P3（，-4）

【解析】

(1)連接OM，根據(jù)DO∥MB即可證得△AOD≌△MOD，從而得出∠OMD=∠OAD，因?yàn)?/span>DA⊥OA，即可得OM⊥CD；

(2) 設(shè)MC=x，可證得△OMC∽△DAC，利用相似三角形的性質(zhì)得出OC=2x-2，利用勾股定理即可列出方程即可求解；

(3)要使以點(diǎn)P和三點(diǎn)D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分三種情況討論：①當(dāng)DP∥OC，DC為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)PD∥OC，DO為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)DC∥OP，OC為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)每種情況求解即可.

（1） 直線DC與⊙O相切．證明如下：

如圖，連接OM，則OM=OB，

∴∠OMB=∠OBM．

∵DO∥MB，

∴∠AOD=∠OBM， ∠MOD=∠OMB，

∴∠AOD=∠MOD．

又∵OA=OM，OD=OD，

∴△AOD≌△MOD，

∴∠OMD=∠OAD．

而DA⊥OA，

∴∠OAD=90°，

∴∠OMD=90°，即OM⊥CD，

∴直線DC與⊙O相切．

（2）設(shè)MC=x．

∵∠OMC=∠DAC=90°，∠OCM=∠DCA,

∴△OMC∽△DAC，

∴=．

∵OM=OA=2，DA=4，AC=OA+OC=2+OC，

∴=，

∴OC=2x-2．

在Rt△OMC中，

∵OM2+MC2=OC2，

∴22+x2=(2x-2)2，

解得x1=，x2=0(舍去)，

∴OC=2×-2=，

∴C（，0）．

因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以c=0，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，將（-2，4），（，0）代入，得

解之，得．

∴y=x2-x．

（3）①當(dāng)DP∥OC，DC為對(duì)角線時(shí)

∵D (－2，4)，C（，0），

∴AO=OB=2，OC=

∴P1（，4）

②當(dāng)PD∥OC，DO為對(duì)角線時(shí)

∵DP2=OC=

∴P2（-，4）

③當(dāng)DC∥OP，OC為對(duì)角線時(shí)

同理可得P3（，-4）．

故P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（，4），P2（-，4），P3（，-4）