【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且.直線與拋物線交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),設(shè)直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)連接,直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.
(3)連接,當(dāng)為何值時(shí)?
(4)在直線上是否存在一點(diǎn),使為等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)線段與線段平行且相等(3)或1(4)存在;點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)或(,2)
【解析】
(1)直線y=x+1與拋物線交于A點(diǎn),可得點(diǎn)A和點(diǎn)E坐標(biāo),則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為:(3,0)、(0,3),即可求解;
(2)CQ==AE,直線AQ和AE的傾斜角均為45°,即可求解;
(3)根據(jù)題意將△APD的面積和△DAB的面積表示出來,令其相等,即可解出m的值;
(4)分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三種情況,分別求解即可.
解:(1)直線與拋物線交于點(diǎn),則點(diǎn)、點(diǎn).
∵,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,
故拋物線的表達(dá)式為,
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得,解得,
故拋物線的表達(dá)式為,
函數(shù)的對(duì)稱軸為,故點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(2)CQ=AE,且CQ∥AE,
理由是:,
,
∴CQ=AE,
直線CQ表達(dá)式中的k==1,與直線AE表達(dá)式中k相等,故AE∥CQ,
故線段CQ與線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是平行且相等;
(3)聯(lián)立直線與拋物線的表達(dá)式,并解得或2.故點(diǎn).
如圖1,過點(diǎn)作軸的平行線,交于點(diǎn),
設(shè)點(diǎn),則點(diǎn).
解得或1.
(4)存在,理由:
設(shè)點(diǎn),點(diǎn),,而點(diǎn),
①當(dāng)時(shí),如圖2,
過點(diǎn)作軸的平行線,分別交過點(diǎn)、點(diǎn)與軸的平行線于點(diǎn)、,
,,,
,,
在△PGQ和△HMP中,
,
,
,,
即:,,
解得m=2或n=3,
當(dāng)n=3時(shí),
解得:或2(舍去),
故點(diǎn)P;
②當(dāng)時(shí),如圖3,
,則點(diǎn)、關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,即垂直于拋物線的對(duì)稱軸,
而對(duì)稱軸與軸垂直,故軸,則,
可得:△MQP和△NQH都是等腰直角三角形,
MQ=MP,
∵MQ=1-m,MP=4-n,
∴n=3+m,代入,
解得:或1(舍去),
故點(diǎn)P;
③當(dāng)時(shí),
如圖4所示,點(diǎn)在下方,與題意不符,故舍去.
如圖5,P在y軸右側(cè),同理可得△PHK≌△HQJ,
可得QJ= HK,
∵QJ=t-1,HK=t+1-n,
∴t-1=t+1-n,
∴n=2,
∴,
解得:m=(舍去)或,
∴點(diǎn)P(,2)
綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為:或(,2)
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(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是__________;
(2)試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
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【題目】如圖,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA,AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D,且△BOD的面積S△BOD=4.
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo).
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【題目】如圖,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,0),A2在y軸的正半軸上,且∠A1A2O=30°,過點(diǎn)A2作A2A3⊥A1A2,垂足為A2,交x軸于點(diǎn)A3;過點(diǎn)A3作A3A4⊥A2A3,垂足為A3,交y軸于點(diǎn)A4;過點(diǎn)A4作A4A5⊥A3A4,垂足為A4,交x軸于點(diǎn)A5;過點(diǎn)A5作A5A6⊥A4A5,垂足為A5,交y軸于點(diǎn)A6;…按此規(guī)律進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2016的縱坐標(biāo)為_____.
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【題目】某校九年級(jí)(1)班甲、乙兩名同學(xué)在5次引體向上測試中的有效次數(shù)如下:
甲:8,8,7,8,9.乙:5,9,7,10,9.
甲、乙兩同學(xué)引體向上的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下:
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | 8 | 8 | 0.4 | |
乙 | 9 | 3.2 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)表格中_______,_______,_______.(填數(shù)值)
(2)體育老師根據(jù)這5次的成績,決定選擇甲同學(xué)代表班級(jí)參加年級(jí)引體向上比賽,選擇甲的理由是_______________________________________.班主任李老師根據(jù)去年比賽的成績(至少9次才能獲獎(jiǎng)),決定選擇乙同學(xué)代表班級(jí)參加年級(jí)引體向上比賽,選擇乙的理由是_______________________________________.
(3)乙同學(xué)再做一次引體向上,次數(shù)為n,若乙同學(xué)6次引體向上成績的中位數(shù)不變,請(qǐng)寫出n的最小值.
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第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
售價(jià)x(元/雙) | 150 | 200 | 250 | 300 |
銷售量y(雙) | 40 | 30 | 24 | 20 |
(1)觀察表中數(shù)據(jù),x,y滿足什么函數(shù)關(guān)系?請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式;
(2)若商場計(jì)劃每天的銷售利潤為3000元,則其單價(jià)定為多少元?
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