【題目】如圖1,經(jīng)過原點O的拋物線yax2bxa0)與x軸交于另一點A30),在第一象限內(nèi)與直線yx交于點B4t).

1)求這條拋物線的表達式;

2)在直線OB下方的拋物線上有一點C,滿足以B,OC為頂點的三角形的面積最大,求點C的坐標;

3)如圖2,若點M在這條拋物線上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的條件下,是否存在點P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2-3x;(2C(2,-2);(3)()或().

【解析】

1)由直線解析式可求得B點坐標,由A、B坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達式;
2)過CCDy軸,交x軸于點E,交OB于點D,過BBFCD于點F,可設(shè)出C點坐標,利用C點坐標可表示出CD的長,從而可表示出BOC的面積,由函數(shù)的最值公式得到C點坐標;
3)設(shè)MBy軸于點N,則可證得ABO≌△NBO,可求得N點坐標,可求得直線BN的解析式,聯(lián)立直線BM與拋物線解析式可求得M點坐標,過MMGy軸于點G,由BC的坐標可求得OBOC的長,由相似三角形的性質(zhì)可求得的值,當點P在第一象限內(nèi)時,過PPHx軸于點H,由條件可證得MOG∽△POH,由==的值,可求得PHOH,可求得P點坐標;當P點在第三象限時,同理可求得P點坐標.

解:(1)∵B4t)在直線y=x上,
t=4,
B4,4),
A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得,

解得

∴拋物線解析式為y= x2-3x.

(2) 如圖1,過CCDy軸,交x軸于點E,交OB于點D,過BBFCD于點F,

∵點C是拋物線上第四象限的點,
∴可設(shè)Ct,t2-3t),則Et0),Dt,t),
OE=t,BF=4-t,CD=t-t2-3t=-t2+4t,
SOBC=SCDO+SCDB=CDOE+CDBF=-t2+4t)(t+4-t=-2t2+8t=-2
∴當t=2時,OBC的面積最大,為8.

C2,-2);

3)存在.連接AB、OM
設(shè)MBy軸于點N,如圖2,

B4,4),
∴∠AOB=NOB=45°,
AOBNOB

∴△AOB≌△NOBASA),
ON=OA=3
N0,3),
∴可設(shè)直線BN解析式為y=kx+3,
B點坐標代入可得4=4k+3,解得k=,
∴直線BN的解析式為y=,
聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得

解得 ,
M-,),
C2,-2),
∴∠COA=AOB=45°,且B44),
OB=4OC=2,
∵△POC∽△MOB
==2,∠POC=BOM,
當點P在第一象限時,如圖3,過MMGy軸于點G,過PPHx軸于點H,

∵∠COA=BOG=45°
∴∠MOG=POH,且∠PHO=MGO
∴△MOG∽△POH,
===2,
M-,),
MG=,OG=,
PH=MG=,OH=OG=
P,);
當點P在第三象限時,如圖4,過MMGy軸于點G,過PPHy軸于點H,

同理可求得PH=MG=,OH=OG=,
P-,);
綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(,)或(-,.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,梯形中,,,,動點在射線上,以為半徑的交邊于點(點與點不重合),聯(lián)結(jié)、,設(shè).

1)求證:;

2)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出定義域;

3)聯(lián)結(jié),當時,以為圓心半徑為相交,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形中,點邊的中點,交于點,交于點,則下列結(jié)論:①;②;③;④,其中正確的答案是____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校九年級數(shù)學小組在課外活動中,研究了同一坐標系中兩個反比例函數(shù) 在第一象限圖象的性質(zhì),經(jīng)歷了如下探究過程:

操作猜想:

1)如圖①,當,時,在軸的正方向上取一點軸的平行線交于點,交于點.時,________________,________;當時,________,________________;當時,猜想________.

數(shù)學思考:

2)在軸的正方向上任意取點軸的平行線,交于點、交于點,請用含的式子表示的值,并利用圖②加以證明.

推廣應(yīng)用:

3)如圖③,若,,在軸的正方向上分別取點 軸的平行線,交于點、,交于點、,是否存在四邊形是正方形?如果存在,求的長和點的坐標;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,某塔觀光層的最外沿點E為蹦極項目的起跳點.已知點E離塔的中軸線AB的距離OE為10米,塔高AB為123米(AB垂直地面BC),在地面C處測得點E的仰角α=45°,從點C沿CB方向前行40米到達D點,在D處測得塔尖A的仰角β=60°,求點E離地面的高度EF.(結(jié)果精確到0.1米)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】特色江蘇,美好生活,第十屆江蘇省園藝博覽會在揚州舉行.圓圓和滿滿同學分析網(wǎng)上關(guān)于園博會的信息,發(fā)現(xiàn)最具特色的場館有:揚州園,蘇州園,鹽城園,無錫園.他們準備周日下午去參觀游覽,各自在這四個園中任選一個,每個園被選中的可能性相同.

1)圓圓同學在四個備選園中選中揚州園的概率是 .

2)用樹狀圖或列表法求出圓圓和滿滿他們選中同一個園參觀的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】中國科學技術(shù)館有圓與非圓展品,涉及了等寬曲線的知識.因為圓的任何一對平行切線的距離總是相等的,所以圓是等寬曲線.除了例以外,還有一些幾何圖形也是等寬曲線,如勒洛只角形(1),它是分別以等邊三角形的征個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間畫一段圓。螆A弧圍成的曲邊三角形.圖2是等寬的勒洛三角形和圓.

下列說法中錯誤的是( )

A.勒洛三角形是軸對稱圖形

B.1中,點A上任意一點的距離都相等

C.2中,勒洛三角形上任意一點到等邊三角形DEF的中心的距離都相等

D.2中,勒洛三角形的周長與圓的周長相等

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線ACBD交于點O,在RtPFE中,∠EPF=90°,點E、F分別在邊AD、AB上.

1)如圖1,若點P與點O重合:①求證:AF=DE;②若正方形的邊長為2,當∠DOE=15°時,求線段EF的長;

2)如圖2,若RtPFE的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當BD=3BP時,證明:PE=2PF

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,點的內(nèi)心,、上的點,且,,若,則

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案