Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，AB=8，點(diǎn)E是射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合)，連接AE，BE，以BE為邊在線段AD的右側(cè)作正方形BEFG，連結(jié)CG．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，求證：△BAE≌△BCG；

（2）在（1）的條件下，若CE=2，求CG的長(zhǎng)；

（3）連接CF，當(dāng)△CFG為等腰三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）CG=10；（3）當(dāng)△CFG為等腰三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為4或8或16．

【解析】

(1)由正方形的性質(zhì)得出，AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，易證∠ABE=∠CBG，由SAS證得△BAE≌△BCG；
(2)由△BAE≌△BCG，得出AE=CG，DE=CDCE=6，由勾股定理得出，即可得出結(jié)果；
(3)①當(dāng)CG=FG時(shí)，易證AE=BE，由HL證得Rt△ADE≌Rt△BCE，得出DE=CE= DC=4；
②當(dāng)CF=FG時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，DE=CD=8；
③當(dāng)CF=CG時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，DE=0；
④當(dāng)CF=CG，點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，DE=16．

（1）證明∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，

∴AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，

∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBG﹣∠EBC，即∠ABE=∠CBG，

在△BAE和△BCG中，，

∴△BAE≌△BCG(SAS)；

（2）解：∵△BAE≌△BCG，

∴AE=CG．

∵四邊形ABCD正方形，

∴AB=AD=CD=8，∠D=90°，

∴DE=CD﹣CE=8﹣2=6，

∴AE10，

∴CG=10；

（3）解：①當(dāng)CG=FG時(shí)，如圖1所示：

∵△BAE≌△BCG，

∴AE=CG．

∵四邊形BEFG是正方形，

∴FG=BE，

∴AE=BE，

在Rt△ADE和Rt△BCE中，，

∴Rt△ADE≌Rt△BCE(HL)，

∴DE=CEDC8=4；

②當(dāng)CF=FG時(shí)，如圖2所示：

點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，即正方形ABCD和正方形BEFG的一條邊重合，DE=CD=8；

③當(dāng)CF=CG時(shí)，如圖3所示：

點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，DE=0；

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合，

∴不存在這種情況；

④CF=CG，當(dāng)點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4所示：

DE=CD+CE=16；

綜上所述：當(dāng)△CFG為等腰三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為4或8或16．