Question

【題目】正方形中，點(diǎn)分別在邊，上，且．

（1）將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到（如圖①），求證：；

（2）若直線與，的延長線分別交于點(diǎn)（如圖②），求證：；

（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請(qǐng)你直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系 ．（不要求書寫證明過程）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可證△AEG≌△AEF；
（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后證明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；
（3）延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，所以2（DF2+BE2）=EF2．

解：（1）證明：繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

，，

，

，

在與中，

，

；

（2）證明：設(shè)正方形的邊長為．

將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)．

則，．

由（1）知，

．

，

、、均為等腰直角三角形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，，

；

（3）解：．

如圖所示，延長交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，

將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，．

由（1）知，

則由勾股定理有，

即，

又，，，

∴有，

∴，

即.