Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2x+a交x軸于點A，B，交y軸于點C，點A的橫坐標為﹣2．

（1）求拋物線的對稱軸和函數表達式．

（2）連結BC線段，BC上有一點D，過點D作x軸的平行線交拋物線于點E，F，若EF＝6，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6；對稱軸為x=2；（2）點D的坐標為（2.5，1.5）．

【解析】

（1）將點A的坐標代入函數的解析式求得a的值后即可確定二次的解析式，代入對稱軸公式即可求得對稱軸；

（2）首先根據點A的坐標和對稱軸求得點B的坐標，然后求得直線BC的解析式，從而設出點D的坐標并表示出點EF的坐標，表示出EF的長后根據EF＝6求解即可．

解：如圖：

（1）∵A點的橫坐標為﹣2，

∴A（﹣2，0），

∵點A 在拋物線y＝﹣x2+2x+a上，

∴﹣2﹣4+a＝0，

解得：a＝6，

∴函數的解析式為：y＝﹣x2+2x+6，

∴對稱軸為x＝﹣＝﹣＝2；

（2）∵A（﹣2，0），對稱軸為x＝2，

∴點B的坐標為（6，0），

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6，

∵點D在BC上，

∴設點D的坐標為（m，﹣m+6），

∴點E和點F的縱坐標為﹣m+6，

∴y＝﹣x2+2x+6＝﹣m+6，

解得：x＝2±，

∴EF＝2+﹣（2﹣）＝2，

∵EF＝6，

∴2＝6，

解得：m＝2.5，

∴點D的坐標為（2.5，1.5）．