Question

如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°
（1）求證：CD是⊙O的切線；    
（2）連接BC，求證：BC=OC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AC=CD，∠D=30°得到∠A=∠D=30°，則∠ACO=∠A=30°，于是根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOC=60°，則可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算∠OCD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由于∠DOC=60°，而OC=OB，根據(jù)等邊三角形的判定方法得到△OBC為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）連結(jié)OC，如圖，
∵AC=CD，∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵∠DOC=60°，
而OC=OB，
∴△OBC為等邊三角形，
∴BC=OC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．