Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在邊OA上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求OE的長及經(jīng)過O，D，C三點拋物線的解析式；

（2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P到達點B時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP＝DQ；

（3）若點N在（1）中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OE＝3；y＝x2+x；（2）t＝；（3）存在滿足條件的點M，其坐標(biāo)為（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，設(shè)AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D點坐標(biāo)，結(jié)合C、O兩點，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）用t表示出CP、BP的長，可證明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值；

（3）可設(shè)出N點坐標(biāo)，分三種情況①EN為對角線，②EM為對角線，③EC為對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對角線的交點橫坐標(biāo)，從而可求得M點的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得M點的坐標(biāo)．

（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，

∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3，

設(shè)AD＝m，則DE＝BD＝4﹣m，

∵OE＝3，

∴AE＝5﹣3＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m＝，

∴D（﹣，﹣5），

∵C（﹣4，0），O（0，0），

∴設(shè)過O、D、C三點的拋物線為y＝ax（x+4），

∴﹣5＝﹣a（﹣+4），解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝x（x+4）＝x2+x；

（2）∵CP＝2t，

∴BP＝5﹣2t，

∵BD＝，DE＝＝，

∴BD＝DE，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），

∴BP＝EQ，

∴5﹣2t＝t，

∴t＝；

（3）∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，

∴設(shè)N（﹣2，n），

又由題意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），

設(shè)M（m，y），

①當(dāng)EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，

則線段EN的中點橫坐標(biāo)為，線段CM中點橫坐標(biāo)為，

∵EN，CM互相平分，

∴＝﹣1，解得m＝2，

又M點在拋物線上，

∴y＝×22+×2＝16，

∴M（2，16）；

②當(dāng)EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，

則線段EM的中點橫坐標(biāo)為，線段CN中點橫坐標(biāo)為，

∵EM，CN互相平分，

∴＝﹣3，解得m＝﹣6，

又∵M點在拋物線上，

∴y＝×（﹣6）2+×（﹣6）＝16，

∴M（﹣6，16）；

③當(dāng)CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，

則M為拋物線的頂點，即M（﹣2，﹣）．

綜上可知，存在滿足條件的點M，其坐標(biāo)為（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．