Question

【題目】在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，直角頂點(diǎn)C在x軸上，一銳角頂點(diǎn)B在y軸上．

（1）如圖①若AD于垂直x軸，垂足為點(diǎn)D．點(diǎn)C坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，1），求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）如圖②，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，請(qǐng)猜想BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

（3）如圖③，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，過A點(diǎn)作AF⊥y軸于F，在滑動(dòng)的過程中，請(qǐng)猜想OC，AF，OB之間有怎樣的關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AF；（3）OC=OB+AF.

【解析】試題分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．

（2）先說明BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，然后針對(duì)得到的數(shù)量關(guān)系，作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線三線合一，可以最終證得所要說明的數(shù)量關(guān)系；

（3）先猜想OC、AF、OB之間的關(guān)系，然后根據(jù)猜想作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，然后證明所要證明的結(jié)論即可．

試題解析：(1)∵點(diǎn)C坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,1)

∴AD=OC，

在Rt△ADC和Rt△COB中， ，

∴Rt△ADC≌Rt△COB(HL)，

∴OB=CD=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，2)；

(2)BD=2AF，

理由：作AE的延長線交BC的延長線于點(diǎn)F，如下圖所示，

∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，AE⊥y軸于E，

∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，

∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∵∠BDC=∠ADE，

∴∠DBC=∠FAC，

在△BDC和△AFC中，

，

∴△BDC≌△AFC(ASA)

∴BD=AF，

∵BE⊥AE，y軸恰好平分∠ABC，

∴AF=2AE，

∴BD=2AF；

(3)OC=OB+AF，

證明：作AE⊥OC于點(diǎn)E，如下圖所示，

∵AE⊥OC，AF⊥y軸，

∴四邊形OFAE是矩形，∠AEC=90°，

∴AF=OE，

∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，∠BOC=90°，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，

∴∠CBO=∠ACE，

在△BOC和△CEO中，

，

∴△BOC≌△CEO(AAS)

∴OB=CE，

∵OC=OE+EC，OE=AF，OB=EC，

∴OC=OB+AF.