Question

如圖，已知⊙O的圓心O在射線PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B兩點(diǎn)同時從P點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)A沿PN方向移動，點(diǎn)B以4cm/s的速度沿PM方向移動，且直線AB始終垂直PN．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，求下列問題．（結(jié)果保留根號）

（1）求PQ的長
（2）當(dāng)t為何值時直線AB與⊙o相切？

Answer 1

(1)；（2）或．

試題分析：（1）連接OQ，由PN切⊙O于Q，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OQ⊥PN，又由PO=20cm，∠P=30°，即可求得PQ的長；
（2）作OE⊥BA于E，由BA⊥PN，即可得四邊形AHOQ是矩形，當(dāng)矩形AEOQ是正方形時，直線BA與⊙O相切．即可求得PB與BA的長，然后分別從當(dāng)PQ﹣PA=OQ時，直線BA第一次與⊙O相切與當(dāng)PA﹣PQ=OQ時，直線BA第二次與⊙O相切去分析求解，即可求得答案．
試題解析：（1）解：連結(jié)OQ，如圖1

∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，∴OQ⊥PN，∵∠P=30°，OP=20，∴OQ=10，在Rt△OPQ中，
；
（2）解：設(shè)運(yùn)動t秒，BP=4t，則AB=，AP=，
①如圖2，當(dāng)AB與⊙O切于點(diǎn)E時，連結(jié)OE，

∴OE⊥AB，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四邊形AEOQ是矩形，
∴OE=AQ=10，∴，∴，
②如圖3，當(dāng)A′B′與⊙O相切于點(diǎn)F時，連結(jié)OF，
∴OF⊥A′B′，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四邊形A′FOQ是矩形，∴OF=A′Q，∴，
∴，∴當(dāng)t為秒或秒時，直線AB與⊙O相切．