【題目】如圖1(注:與圖2完全相同),二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該拋物線的頂點為D,求△ACD的面積(請在圖1中探索);
(3)若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,當(dāng)P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ所在的直線翻折,點A恰好落在拋物線上E點處,請直接判定此時四邊形APEQ的形狀,并求出E點坐標(biāo)(請在圖2中探索).
【答案】
(1)
解:∵二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),
∴ ,
解得: ,
∴y= x2﹣ x﹣4
(2)
解:過點D作DM⊥y軸于點M,
∵y= x2﹣ x﹣4= (x﹣1)2﹣ ,
∴點D(1,﹣ )、點C(0,﹣4),
則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
= ×(1+3)× ﹣ ×( ﹣4)×1﹣ ×3×4
=4
(3)
解:四邊形APEQ為菱形,E點坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ ).理由如下
如圖2,E點關(guān)于PQ與A點對稱,過點Q作,QF⊥AP于F,
∵AP=AQ=t,AP=EP,AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP,
∴四邊形AQEP為菱形,
∵FQ∥OC,
∴ = = ,
∴ = =
∴AF= t,F(xiàn)Q= t
∴Q(3﹣ t,﹣ t),
∵EQ=AP=t,
∴E(3﹣ t﹣t,﹣ t),
∵E在二次函數(shù)y= x2﹣ x﹣4上,
∴﹣ t= (3﹣ t)2﹣ (3﹣ t)﹣4,
∴t= ,或t=0(與A重合,舍去),
∴E(﹣ ,﹣ ).
【解析】(1)將A,B點坐標(biāo)代入函數(shù)y= x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式;(2)由解析式先求得點D、C坐標(biāo),再根據(jù)S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC , 列式計算即可;(3)注意到P,Q運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、E對稱,則AP=EP,AQ=EQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.利用菱形對邊平行且相等的性質(zhì)可用t表示E點坐標(biāo),又E在二次函數(shù)的圖象上,所以代入即可求t,進而E可表示.
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【題目】如圖所示,點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點,∠AOB=110°,∠BOC=α, 以OC為邊作等邊三角形OCD,連接AD.
(1)當(dāng)α=150°時,試判斷△AOD的形狀,并說明理由;
(2)探究:當(dāng)a為多少度時,△AOD是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,E為弦AC的延長線上一點,DE與⊙O相切于點D,且DE⊥AC,連結(jié)OD,若AB=10,AC=6,求DE的長.
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【題目】用“<”“>”或“=”號填空:
(1)﹣_____﹣;
(2)﹣(﹣0.01)_____ (﹣)2;
(3)3.9950(精確到0.01)_____3.999.
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【題目】觀察算式:1×3+1=4=22;2×4+1=9=32;3×5+1=16=42;4×6+1=25=52,…
(1)請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:6×8+1=( )2;
(2)用含n的等式表示上面的規(guī)律: ;
(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題:
計算:(1+)(1+)(1+)(1+)…(1+)
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【題目】國家推行“節(jié)能減排,低碳經(jīng)濟”政策后,某企業(yè)推出一種“CNG”改燒汽油為天然氣的裝置,每輛車改裝費為b元,據(jù)市場調(diào)查知:每輛車改裝前、后的燃料費(含改裝費)y0,y1(元)與正常運營時間x(天)之間分別滿足關(guān)系式:y0=ax,y1=b+50x,圖象如圖所示.
(1)每輛車改裝前每天的燃料費a= 元,每輛車的改裝費b= 元,正常運營時間 天后,就可以從節(jié)省的燃料費中收回改裝成本;
(2)某出租汽車公司一次性改裝了100輛出租車,因而正常運行多少天后共節(jié)省燃料費40萬元?
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【題目】溫度的度量有兩種基本單位:攝氏溫度(℃),華氏溫度(℉).在溫度計上,攝氏溫度x與華氏溫度y有如下表所示的對應(yīng)關(guān)系:
x/℃ | … | -10 | 0 | 10 | 20 | … |
y/℉ | … | 14 | 32 | 50 | 68 | … |
按下列步驟確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(1)在平面直角坐標(biāo)系中描點、連線,畫出圖象;
(2)猜想能表示y與x之間關(guān)系的函數(shù)類型;
(3)確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并驗證你的想法.
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【題目】如圖1,點M為直線AB上一動點, 都是等邊三角形,連接BN
求證: ;
分別寫出點M在如圖2和圖3所示位置時,線段AB、BM、BN三者之間的數(shù)量關(guān)系不需證明;
如圖4,當(dāng)時,證明: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(2,0),B(1,m2﹣4m+5).
(1)直接判斷△ABO是什么圖形;
(2)如果S△ABO有最小值,求m的值;
(3)拋物線y=﹣(x﹣2)(x﹣n)經(jīng)過點B且與y軸交于點C,與x軸交于兩點A,D.
①用含m的式子表示點C和點D坐標(biāo);
②點P是拋物線上x軸上方任一點,PQ∥BD交x軸于點Q,將△ABO向左平移到△A′B′O′,點A,B,O的對應(yīng)點分別是A′,B′,O′,當(dāng)點A'與點D重合時,點B'在線段PQ上,如果點P恰好是拋物線頂點,求m的值.
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