Question

如圖，已知線段AC∥y軸，點(diǎn)B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸于G，連OB、OC．

（1）如圖1，判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）如圖2，若點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，連接BC，交y軸于點(diǎn)K
①求證：AG=BG；
②觀察，你發(fā)現(xiàn)∠AOB=

 

（直接寫出結(jié)論，不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),平行線分線段成比例

專題：

分析：（1）利用已知條件可證明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；
（2）①由已知可得BK=KC，因?yàn)锳C∥y軸，可得GA=GB；
②接連BC，過(guò)O作OE⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，易證△COD≌△BOE（HL），設(shè)∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證明∠AOB=∠ACB=90°．

解答：解：（1）△AOG的形狀是等腰三角形，
理由如下：
∵AC∥y軸，
∴∠CAO=∠GOA，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠GAO，
∴∠GOA=∠GAO，
∴AG=OG，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）①證明：∵點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴BK=KC，
∵AC∥y軸，
∴GA=GB；
②如下圖，過(guò)O作OE⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，AC∥y軸，
∴AC⊥BC，
在Rt△COD和Rt△BOE中，
 

DO=OE CO=BO

，
∴△COD≌△BOE（HL），
∴∠DCO=∠EBO，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
設(shè)∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，
∴2x+∠BOC=180°，
又∵2y+∠BOC=180°，
∴x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴∠AOB=∠ACB=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，題目的綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．