Question

8．如圖，正方形ABCD中，AB=1，點(diǎn)P是BC邊上的任意一點(diǎn)（異于端點(diǎn)B、C），連接AP，過B、D兩點(diǎn)作BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F．
（1）求證：EF=DF-BE；
（2）若△ADF的周長為$\frac{7}{3}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AD=AB，證出∠DAF=∠ABE，由AAS證明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b＞0，由已知條件得出DF+AF=$\frac{4}{3}$，即a+b=$\frac{4}{3}$，由勾股定理得出a²+b²=1，再由完全平方公式得出a-b即可．

解答 （1）證明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠ABE}\\{∠DFA=∠AEB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE-AF=DF-BE；
（2）解：設(shè)DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b＞0，
∵△ADF的周長為$\frac{7}{3}$，AD=1，
∴DF+AF=$\frac{4}{3}$，
即a+b=$\frac{4}{3}$，由勾股定理得：DF²+AF²=AD²，
即a²+b²=1，
∴（a-b）²=2（a²+b²）-（a+b）²=2-$\frac{16}{9}$=$\frac{2}{9}$，
∴a-b=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即EF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出a與b的關(guān)系式是解決問題（2）的關(guān)鍵．