Question

13．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn)，BE的垂直平分線FG交對(duì)角AC于點(diǎn)F．求證：
（1）BF=DF；
（2）BF⊥FE．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS證明△BAF≌△DAF，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=EF，證出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性質(zhì)證出∠ABF=∠FED，由鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠FED+∠FEA=180°，證出∠ABF+∠FEA=180°，由四邊形內(nèi)角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．

解答 證明：如圖所示：
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，
在△BAF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAF=∠DAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF；
（2）∵BE的垂直平分線FG交對(duì)角AC于點(diǎn)F，
∴BF=EF，
∵BF=DF，
∴EF=DF，
∴∠FDE=∠FED，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠ABF=∠FDE，
∴∠ABF=∠FED，
∵∠FED+∠FEA=180°，
∴∠ABF+∠FEA=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥FE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．