Question

3．對于三個數(shù)a，b，c，用max{a，b，c}表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，例如：max{-1，2，$\frac{2}{3}$}=2，若直線y=-$\frac{1}{2}$x+k與函數(shù)y=max{x+1，3-x，-x²+2x+3}的圖象有且只有2個交點(diǎn)，則k的取值條件為3＜k＜4或k＞$\frac{73}{16}$．

Answer 1

分析 求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意，分三種情況說明從而求解．

解答 解：①直線y=-$\frac{1}{2}$x+k經(jīng)過A（0，3）得，則k=3，
②解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，∴B（2，3），
代入y=-$\frac{1}{2}$x+k得，3=-1+k，
解得k=4，
③直線y=-$\frac{1}{2}x$+k與拋物線相切時，則-$\frac{1}{2}$x+k=-x²+2x+3，即${x}^{2}-\frac{5}{2}x+k-3=0$，
則△=（-$\frac{5}{2}$）²-4（k-3）
=$\frac{25}{4}$-4k+12
=-4k+$\frac{73}{4}$=0，
解得：k=$\frac{73}{16}$．
故答案為3＜k＜4或k＞$\frac{73}{16}$．

點(diǎn)評 本題主要考查在新定義下直線與拋物線相交的問題，根據(jù)題意得知是直線與拋物線相交是解決本題的前提，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．