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【題目】閱讀下列材料，回答問題.

材料：求圓外一定點到圓上距離最小值是安徽省中考數學較為常見的一種題型，此類題型試題有時出題者將圓隱藏，故又稱為“隱圓問題”.解決這類問題，關鍵是要找到動點的運動軌跡，即該動點是繞哪一個定點旋轉，且能保持旋轉半徑不變.從而找到動點所在的隱藏圓，進面轉換成圓外一點到圓心的距離減半徑，求得最小值.

解決問題：

（1）如圖①，圓O的半徑為1，圓外一點A到圓心的距離為3，圓上一動點B，當A、O、B滿足條件____________時，有最小值為____________.

（2）如圖②，等腰兩腰長為5，底邊長為6，以A為圓心，2為半徑作圓，圓上動點P到的距離最小值為__________.

（3）如圖③，，P、Q分別是射線、上兩個動點，C是線段的中點，且，則在線段滑動的過程中，求點C運動形成的路徑長，并說明理由.

（4）如圖④，在矩形中，，，點E是中點，點F是上一點，把沿著翻折，點B落在點處，求的最小值，并說明理由.

（5）如圖⑤，在中，，，，以邊中點O為圓心，作半圓與相切，點P，Q分別是邊和半圓上的動點，連接，求長的最小值，并說明理由.

【答案】（1）A，B，O在一條直線上（或）；2；（2）2；（3），見解析；（4），見解析；（5）1，見解析.

【解析】

（1）根據最小距離等于圓外一點到圓心的距離減去半徑可得到最小值，這時A，B，O在一條直線上；

（2）作AD⊥BC于點D，利用等腰三角形的性質及勾股定理求出AD的長度，用AD的長度減去半徑即為圓上動點P到的距離最小值；

（3）根據點C與點O之間的距離永遠不變說明點C的運動軌跡為圓，利用弧長公式求路徑長即可；

（4）先根據EB為定值，確定點B’的運動軌跡，然后當D,B’,E三點共線時，DB’最小，利用勾股定理求出DE的長度，再減去半徑即可；

（5）過O點作，利用三角形中線的性質得出OP,OQ 的長度，從而求出PQ的最小值.

（1）根據最小距離等于圓外一點到圓心的距離減去半徑可得到最小值，有最小值為3-1=2此時A，B，O在一條直線上（或）；

（2）如圖，作AD⊥BC于點D

∵

由勾股定理得

點P到的距離最小值為

（3）如圖，連接，

∵，C是中點，，∴所以C是以O為圓心，半徑為2的圓上，所以

（4）如圖，連接DE

因為點E是定點，，所以的軌跡為以E為圓心，2為半徑的圓上.，∴的最小值為

（5）如圖，過O點作，交圓O于點Q，

由三角形中線的性質得，，所以最小值為1

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】（10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE. 將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α.

（1）問題發(fā)現

① 當時，；② 當時，

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

（3）問題解決

當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長.

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【題目】如圖，在中，點，分別是，的中點，連接，，，且，過點作交的延長線于點.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖中與面積相等的所有三角形（不包括）.

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【題目】閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：

尺規(guī)作圖，過圓外一點作圓的切線．

已知：⊙O和點P

求過點P的⊙O的切線

小涵的主要作法如下：

如圖，（1）連結OP，作線段OP的中點A；

（2）以A為圓心，OA長為半徑作圓，交⊙O于點B，C；

（3）作直線PB和PC．

所以PB和PC就是所求的切線．

　

老師說：“小涵的做法正確的．”

請回答：小涵的作圖依據是_____．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy 中，點P是⊙C外一點，連接CP交⊙C于點Q，點P關于點Q的對稱點為P′，當點P′在線段CQ上時，稱點P為⊙C“友好點”．已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①點A，B，C中是⊙O“友好點”的是　 　；

②已知點M在直線y＝﹣x+2 上，且點M是⊙O“友好點”，求點M的橫坐標m的取值范圍；

（2）已知點D，連接BC，BD，CD，⊙T的圓心為T（t，﹣1），半徑為1，若在△BCD上存在一點N，使點N是⊙T“友好點”，求圓心T的橫坐標t的取值范圍．

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【題目】為了解我市居民用水情況，在某小區(qū)隨機抽查了20戶家庭，并將這些家庭的月用水量進行統計，結果如下表：

月用水量（噸）

4

5

6

8

13

戶數

4

5

7

3

1

則關于這20戶家庭的月用水量，下列說法正確的是（　�。�

A.中位數是5B.平均數是5C.眾數是6D.方差是6

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【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=-1，點B的坐標為（1，0），則下列結論：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a2-ab+ac＜0，其中正確的結論有（　�。﹤�．

A. 3B. 4C. 2D. 1

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【題目】如圖，四邊形AOBC是正方形，點C的坐標是（4，0）．

（Ⅰ）正方形AOBC的邊長為　 　，點A的坐標是　 　．

（Ⅱ）將正方形AOBC繞點O順時針旋轉45°，點A，B，C旋轉后的對應點為A′，B′，C′，求點A′的坐標及旋轉后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；

（Ⅲ）動點P從點O出發(fā)，沿折線OACB方向以1個單位/秒的速度勻速運動，同時，另一動點Q從點O出發(fā)，沿折線OBCA方向以2個單位/秒的速度勻速運動，運動時間為t秒，當它們相遇時同時停止運動，當△OPQ為等腰三角形時，求出t的值（直接寫出結果即可）．

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【題目】如圖：A、P、B、C是⊙O上的四個點，且∠APC＝∠CPB＝60°

（1）判定△ABC的形狀，證明你的結論；

（2）若⊙O的半徑為2，求AB的長．

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