Question

【題目】如圖，四邊形AOBC是正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）．

（Ⅰ）正方形AOBC的邊長(zhǎng)為　 　，點(diǎn)A的坐標(biāo)是　 　．

（Ⅱ）將正方形AOBC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A，B，C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，B′，C′，求點(diǎn)A′的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；

（Ⅲ）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OACB方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OBCA方向以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)它們相遇時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積為；（3）.

【解析】

（1）連接AB，根據(jù)△OCA為等腰三角形可得AD=OD的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，則得出正方形AOBC的面積；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′的長(zhǎng)，從而得出A′C，A′E，再求出面積即可；
（3）根據(jù)P、Q點(diǎn)在不同的線段上運(yùn)動(dòng)情況，可分為三種列式①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在OA、OB時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在OA上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P、Q在AC上時(shí)，可方程得出t．

解：（1）連接AB，與OC交于點(diǎn)D，

四邊形是正方形，
∴△OCA為等腰Rt△，

∴AD=OD=OC=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

4，.

（2）如圖

∵ 四邊形是正方形，

∴，.

∵ 將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

∴ 點(diǎn)落在軸上.

∴.

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵，

∴.

∵ 四邊形，是正方形，

∴，.

∴，.

∴.

∴.

∵，

，

∴ .

∴旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積為.

（3）設(shè)t秒后兩點(diǎn)相遇，3t=16，∴t=

①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在OA、OB時(shí)，

∵,OP=t，OQ=2t

∴不能為等腰三角形

②當(dāng)點(diǎn)P在OA上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)如圖2，

當(dāng)OQ=QP，QM為OP的垂直平分線，
OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4，
t=2（2t-4），
解得：t=．

③當(dāng)點(diǎn)P、Q在AC上時(shí)，

不能為等腰三角形

綜上所述，當(dāng)時(shí)是等腰三角形