Question

【題目】如圖，在Rt中，，點為邊上一個動點，過點作交邊于，過點作射線交邊于點，交射線于點，聯結．設兩點的距離為，兩點的距離為．

（1）求證：；

（2）求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；

（3）點在運動過程中，能否構成等腰三角形？如果能，請直接寫出的長，如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=2x-6（3≤x≤12）；（3）能，3或6-6或6

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理先得∠B=60°，證明△BED是等邊三角形，根據等角對等邊分別證明DE=DG，BD=ED，可得結論；

（2）先得BC=6，根據直角三角形30度角的性質可得結論；

（3）分三種情況：①當ED=DF時，當F與C重合時，如圖2，BE=BC=3；②當ED=EF時，如圖3，根據直角三角形30度角的性質或三角函數列等式可得結論；③當EF=DF時，C與D重合，如圖4，此時BE=BC=6；

（1）證明：如圖1，

Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，

∴∠B=60°，

∵∠BDE=∠B=60°，

∴∠BED=60°，

∴△BED是等邊三角形，

∴BD=ED，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°，

∴∠DEG=30°，

∵∠EDB=∠DEG+∠DGE，

∴∠DGE=60°-30°=30°=∠DEF，

∴DE=DG，

∴BD=DG；

（2）解：如圖1，Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，

∴BC=6，

Rt△BEG中，∠G=30°，

∴BG=2BE，

∵BE兩點的距離為x，CG兩點的距離為y，

∴6+y=2x，y=2x-6（3≤x≤12）；

（3）解：分三種情況：

①當ED=DF時，當F與C重合時，如圖2，BE=BC=3；

②當ED=EF時，如圖3，

BE=ED=EF=x，

∴AE=12-x，

Rt△AEF中，tan∠A=，

∵∠A=30°，

∴，

∴x=6-6，

∴BE=6-6；

③當EF=DF時，C與D重合，如圖4，此時BE=BC=6；

綜上，當△DEF構成等腰三角形時，BE的長為3或6-6或6，