【題目】如圖,在Rt中,,點為邊上一個動點,過點作交邊于,過點作射線交邊于點,交射線于點,聯結.設兩點的距離為,兩點的距離為.
(1)求證:;
(2)求關于的函數解析式,并寫出的取值范圍;
(3)點在運動過程中,能否構成等腰三角形?如果能,請直接寫出的長,如果不能,請簡要說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)y=2x-6(3≤x≤12);(3)能,3或6-6或6
【解析】
(1)根據三角形的內角和定理先得∠B=60°,證明△BED是等邊三角形,根據等角對等邊分別證明DE=DG,BD=ED,可得結論;
(2)先得BC=6,根據直角三角形30度角的性質可得結論;
(3)分三種情況:①當ED=DF時,當F與C重合時,如圖2,BE=BC=3;②當ED=EF時,如圖3,根據直角三角形30度角的性質或三角函數列等式可得結論;③當EF=DF時,C與D重合,如圖4,此時BE=BC=6;
(1)證明:如圖1,
Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,
∴∠B=60°,
∵∠BDE=∠B=60°,
∴∠BED=60°,
∴△BED是等邊三角形,
∴BD=ED,
∵EF⊥AB,
∴∠BEF=90°,
∴∠DEG=30°,
∵∠EDB=∠DEG+∠DGE,
∴∠DGE=60°-30°=30°=∠DEF,
∴DE=DG,
∴BD=DG;
(2)解:如圖1,Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,
∴BC=6,
Rt△BEG中,∠G=30°,
∴BG=2BE,
∵BE兩點的距離為x,CG兩點的距離為y,
∴6+y=2x,y=2x-6(3≤x≤12);
(3)解:分三種情況:
①當ED=DF時,當F與C重合時,如圖2,BE=BC=3;
②當ED=EF時,如圖3,
BE=ED=EF=x,
∴AE=12-x,
Rt△AEF中,tan∠A=,
∵∠A=30°,
∴,
∴x=6-6,
∴BE=6-6;
③當EF=DF時,C與D重合,如圖4,此時BE=BC=6;
綜上,當△DEF構成等腰三角形時,BE的長為3或6-6或6,
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【題目】如圖,已知在△ABC中,∠BAC>90°,點D為BC的中點,點E在AC上,將△CDE沿DE折疊,使得點C恰好落在BA的延長線上的點F處,連結AD,則下列結論不一定正確的是( 。
A. AE=EF B. AB=2DE
C. △ADF和△ADE的面積相等 D. △ADE和△FDE的面積相等
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【題目】從甲、乙兩位運動員中選出一名參加在規(guī)定時間內的投籃比賽.預先對這兩名運動員進行了6次測試,成績如下(單位:個):
甲:6,12,8,12,10,12;
乙:9,10,11,10,12,8;
(1)填表:
平均數 | 眾數 | 方差 | |
甲 | 10 |
|
|
乙 |
| 10 |
|
(2)根據測試成績,請你運用所學的統(tǒng)計知識作出分析,派哪一位運動員參賽更好?為什么?
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【題目】如圖1,平面直角坐標系中,B、C兩點的坐標分別為B(0,3)和C(0,﹣),點A在x軸正半軸上,且滿足∠BAO=30°.
(1)過點C作CE⊥AB于點E,交AO于點F,點G為線段OC上一動點,連接GF,將△OFG沿FG翻折使點O落在平面內的點O′處,連接O′C,求線段OF的長以及線段O′C的最小值;
(2)如圖2,點D的坐標為D(﹣1,0),將△BDC繞點B順時針旋轉,使得BC⊥AB于點B,將旋轉后的△BDC沿直線AB平移,平移中的△BDC記為△B′D′C′,設直線B′C′與x軸交于點M,N為平面內任意一點,當以B′、D′、M、N為頂點的四邊形是菱形時,求點M的坐標.
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【題目】如圖1,△ABC為等腰三角形,AB=AC=a,P點是底邊BC上的一個動點,PD∥AC,PE∥AB.
⑴用a表示四邊形ADPE的周長為 ;
⑵點P運動到什么位置時,四邊形ADPE是菱形,請說明理由;
⑶如果△ABC不是等腰三角形(圖2),其他條件不變,點P運動到什么位置時,四邊形ADPE是菱形(不必說明理由).
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【題目】經市場調查,某種商品在第x天的售價與銷量的相關信息如下表;已知該商品的進價為每件30元,設銷售該商品每天的利潤為y元.
(1)求出y與x的函數關系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當天銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】如圖1,一次函數y=﹣x+10的圖象交x軸于點A,交y軸于點B.以P(1,0)為圓心的⊙P與y軸相切,若點P以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移,同時⊙P的半徑以每秒增加1個單位的速度不斷變大,設運動時間為t(s)
(1)點A的坐標為 ,點B的坐標為 ,∠OAB= °;
(2)在運動過程中,點P的坐標為 ,⊙P的半徑為 (用含t的代數式表示);
(3)當⊙P與直線AB相交于點E、F時
①如圖2,求t=時,弦EF的長;
②在運動過程中,是否存在以點P為直角頂點的Rt△PEF,若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由(利用圖1解題).
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【題目】2017年中秋節(jié)來期間,某超市以每盒80元的價格購進了1000盒月餅,第一周以每盒168元的價格銷售了300盒,第二周如果單價不變,預計仍可售出300盒,該超市經理為了增加銷量,決定降價,據調查,單價每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要贏利30元,第二周結束后,該超市將對剩余的月餅一次性賠錢甩賣,此時價格為70元/盒.
(1)若設第二周單價降低x元,則第二周的單價是 ______ ,銷量是 ______ ;
(2)經兩周后還剩余月餅 ______ 盒;
(3)若該超市想通過銷售這批月餅獲利51360元,那么第二周的單價應是多元?
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