【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿對角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為4cm/s,過點(diǎn)PPQ⊥BDBC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點(diǎn)N落在射線PD上,點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為3m/s,以O為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s)(0t).

1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時(shí),t的值為

2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;

3)請你繼續(xù)進(jìn)行探究,并解答下列問題:

證明:在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè);

如圖3,在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)QM⊙O相切時(shí),求t的值;并判斷此時(shí)PM⊙O是否也相切?說明理由.

【答案】見解析

【解析】試題分析:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí),利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程,最后一個(gè)問題利用反證法證明解題.

1)先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ,再根據(jù)角平分線性質(zhì),列出方程解決問題.

2)由△QTM∽△BCD,得列出方程即可解決.

3如圖2中,由此QMCDE,求出DEDO利用差值比較即可解決問題.

如圖3中,由可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點(diǎn)H,QMCD交于點(diǎn)E.由△OHE∽△BCD,得,列出方程即可解決問題.利用反證法證明直線PM不可能由⊙O相切.

1)解:如圖1中,四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6AD=BC=8

,

∵PQ⊥BD

∴∠BPQ=90°=∠C,

∵∠PBQ=∠DBC

∴△PBQ∽△CBD,

,

,

∴PQ=3tBQ=5t,

∵DQ平分∠BDC,QP⊥DBQC⊥DC,

∴QP=QC,

∴3t=8-5t,

∴t=1,

故答案為:1

2)解:如圖2中,作MT⊥BCT

∵M(jìn)C=MQ,MT⊥CQ,

∴TC=TQ,

由(1)可知TQ=8-5t),QM=3t,

∵M(jìn)Q∥BD,

∴∠MQT=∠DBC

∵∠MTQ=∠BCD=90°,

∴△QTM∽△BCD,

,

∴t=s),

∴t=s時(shí),△CMQ是以CQ為底的等腰三角形.

3證明:如圖2中,由此QMCDE

∵EQ∥BD,

,

∴EC=8-5t),ED=DC-EC=6-8-5t=t,

∵DO=3t,

∴DE-DO=t-3t=t0

點(diǎn)O在直線QM左側(cè).

解:如圖3中,由可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點(diǎn)H,QMCD交于點(diǎn)E

∵EC=8-5t),DO=3t,

∴OE=6-3t-8-5t=t

∵OH⊥MQ,

∴∠OHE=90°,

∵∠HEO=∠CEQ,

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD

∵∠OHE=∠C=90°,

∴△OHE∽△BCD,

,

,

∴t=

∴t=s時(shí),⊙O與直線QM相切.

連接PM,假設(shè)PM⊙O相切,則∠OMH=PMQ=22.5°

MH上取一點(diǎn)F,使得MF=FO,則∠FMO=∠FOM=22.5°,

∴∠OFH=∠FOH=45°,

∴OH=FH=,FO=FM=,

∴MH=+1),

得到HE=,

得到EQ=,

∴MH=MQ-HE-EQ=4--=,

+1,矛盾,

假設(shè)不成立.

直線PM⊙O不相切.

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