Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣5ax+4a（a是常數(shù)，且a＞0）過(guò)點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊．連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點(diǎn)D與點(diǎn)O在直線AC兩側(cè)．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)CD∥x軸時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）連接BD，當(dāng)BD最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0）；（2）y＝x2﹣x+；（3）y＝x2﹣x+．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線解析式求解與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即y=0是x的值，即可得出A，B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)三角形ACD是等邊三角形可知∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)值可求點(diǎn)C坐標(biāo)，從而可求答案；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF∥x軸交y軸于點(diǎn)F交DH于點(diǎn)G，根據(jù)點(diǎn)E坐標(biāo)進(jìn)一步求△CFE∽△EGD，進(jìn)而可求答案.

（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，則x＝1或4，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（4，0）；

（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），∴OA=1

∵△ACD是等邊三角形，∴∠DCA=60°

當(dāng)CD∥x軸時(shí)，∠DCO=90°

∴∠ACO=30°，則∠OCA＝60°，

則OC＝OAtan60°=，故點(diǎn)C（0，），

即＝4a，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF∥x軸交y軸于點(diǎn)F交DH于點(diǎn)G，

∵△ACD為等邊三角形，則點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E（，2a），AE＝CE＝ED，

∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF，

∴△CFE∽△EGD，∴，其中EF＝，CF＝2a，

解得：GE＝a，DG＝，故點(diǎn)D（），

BD2＝（，

故當(dāng)a＝時(shí)，BD最小，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝．