Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB如圖放置，點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）與OA邊交于點(diǎn)E，連接OP．
（1）如圖1，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），且△OPB的面積為5，求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，若∠AOB=60°，過P作PC∥OA，與OB交于點(diǎn)C，若PC=

1

2

OE，并且△OPC的面積為

3 3

2

，求OE的長．
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PQ∥OB，交OA于點(diǎn)Q，點(diǎn)M是直線PQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△OEM是以O(shè)E為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），且△OPB的面積為

5

2

求出PD的長，求出直線AB的解析式，故可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出OA的長，△OPC的面積為

3 3

2

求出OC的長，再由PC∥OA可知△BCP∽△BOA，故可得出OC的長，由PC=

1

2

OE即可得出OE的長．
（3）先求得E的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線OA求得OM或EM的解析式，把y=1代入解析式即可求得M的坐標(biāo)；

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），
△OPB的面積為

5

2

，
∴

1

2

×5PD=

5

2

，解得PD=1，
設(shè)直線AB的解析式為
y=ax+b（a≠0），
∵A（3，4），B（5，0），
∴

3a+b=4 5a+b=0

，解得

a=-2 b=10

，
∴直線AB的解析式為y=-2x+10，
當(dāng)y=1時(shí)，-2x+10=1，解得x=

9

2

，
∴P（

9

2

，1），
∵點(diǎn)P的反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）上，
∴1=

k

9 2

，解得k=

9

2

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

9

2x

；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
∵△OPC的面積為

3

2

3

，
∴

1

2

OC×1=

3

2

3

，解得OC=3

3

，
∴BC=5-3

3

，
∵PC∥OA，
∴△BCP∽△BOA，
∴

PC

OA

=

BC

OB

，即

PC

5

=

5-3 3

5

，解得PC=5-3

3

，
∵PC=

1

2

OE，
∴OE=10-6

3

．

（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），
∴直線OA為：y=

4

3

x，
∵反比例函數(shù)的解析式為：y=

9

2x

；
∴E（

3 6

4

，

6

），
當(dāng)∠EOM=90°時(shí)，直線OM為：y=-

3

4

x，
∵P（

9

2

，1），
∴1=-

3

4

x，解得x=-

4

3

，
∴M（-

4

3

，1），
當(dāng)∠OEM=90°時(shí)，直線EM為：y=-

3

4

x+b，
∵E（

3 6

4

，

6

），
∴

6

=-

3

4

×

3 6

4

+b，解得：b=2

6

，
∴直線EM為y=-

3

4

x+2

6

，
∵P（

9

2

，1），
∴1=-

3

4

x+2

6

，解得：x=

8 6 -4

3

，
∴M（

8 6 -4

3

，1）
∴M的坐標(biāo)為（-

4

3

，1）或（

8 6 -4

3

，1）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．