Question

【題目】若是關(guān)于的函數(shù)，是常數(shù)（），若對于此函數(shù)圖象上的任意兩點，，都有，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)，其中滿足條件的所有常數(shù)的最小值，稱為該函數(shù)的界高.

例如：下圖所表示的函數(shù)的界高為4.

（1）求函數(shù)的界高；

（2）已知，若函數(shù)的界高為4，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知，函數(shù)的界高為，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 界高為9;(2) ;(3)

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)（）的性質(zhì)，在取最小值0，在取最大值9，由此可求函數(shù)的界高；

（2）把代入拋物線的解析式得：，解得，從而，進(jìn)一步即得m的取值范圍是；

（3）因為拋物線的對稱軸是直線x=a，而，函數(shù)中的x的取值范圍是，所以要對a分情況求解；

當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在x=－2時，取得最大值，在x=1時取得最小值，將代入函數(shù)解析式求得，然后根據(jù)，可求a的值；

當(dāng)時，同樣的思路將代入函數(shù)解析式得，再根據(jù)，亦可求得a的值；最后綜合得出結(jié)果.

解（1）函數(shù)（）在取最小值，在取最大值

∵

∴界高為9.

（2）將代入拋物線的解析式得：，解得：

∴

∴的取值范圍是

（3）當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在x=－2時，取得最大值，在x=1時取得最小值，于是將代入函數(shù)解析式求得，

∵

∴

解得：

又∵

故此種情況不成立；

當(dāng)時，同理將代入函數(shù)解析式得：，

∵

∴

解得：（舍去）

故