Question

【題目】如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設長方形地面，請觀察下列圖形，并解答有關問題：

（1）在第n個圖中，第一橫行共　 　 塊瓷磚，第一豎列共有　 　 塊瓷磚；（均用含n的代數(shù)式表示）鋪設地面所用瓷磚的總塊數(shù)為　 　（用含n的代數(shù)式表示，n表示第n個圖形）

（2）上述鋪設方案，鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；

（3）是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形？請通過計算加以說明．

Answer 1

【答案】（1） n+3，n+2，n2+5n+6或（n+2）（n+3）；（2）20；（3）不存在

【解析】

（1）第一個圖形用的正方形的個數(shù)=3×4=12，第二個圖形用的正方形的個數(shù)=4×5=20，第三個圖形用的正方形的個數(shù)=5×6=30…以此類推，通過觀察即可求出在第n個圖中，第一橫行共n+3塊瓷磚，第一豎列共有n+2塊瓷磚；第n個圖形用的正方形的個數(shù)=（n+2）（n+3）個；

（2）根據(jù)題意可得（n+2）（n+3）=506，解關于n的一元二次方程即可；

（3）第一個圖形中白色瓷塊有1×2=2，黑色瓷塊=2×5=10，第二個圖形中白色瓷塊有2×3=6，黑色瓷塊=2×7=14，第三個圖形中白色瓷塊有3×4=12，黑色瓷塊=2×9=18…那么依此類推第n個圖形中有白色瓷塊=n（n+1），黑色瓷塊=2（2n+3），根據(jù)題意可得n（n+1）=2（2n+3），解關于n的方程即可．

解：（1）通過觀察得：n=1時，橫行有1+3塊，豎列有1+2塊，

n=2時，橫行有2+3塊，豎列有2+2塊，

n=3時，橫行有3+3塊，豎列有3+2塊，

…，

所以在第n個圖中，每一橫行共有n+3塊，每一豎列共有n+2塊，

第一個圖形用的正方形的個數(shù)=3×4=12,第二個圖形用的正方形的個數(shù)=4×5=20,第三個圖形用的正方形的個數(shù)=5×6=30…以此類推, 在第n個圖中，第n個圖形用的正方形的個數(shù)=(n+2)(n+3)個；

故答案為：n+3，n+2，n2+5n+6或（n+2）（n+3）；

（2）根據(jù)題意得：n2+5n+6=506，

解得n1=20，n2=﹣25（不符合題意，舍去）；

（3）第一個圖形中白色瓷塊有1×2=2，黑色瓷塊=2×5=10，

第二個圖形中白色瓷塊有2×3=6，黑色瓷塊=2×7=14，

第三個圖形中白色瓷塊有3×4=12，黑色瓷塊=2×9=18…

那么依此類推第n個圖形中有白色瓷塊=n（n+1），黑色瓷塊=2（2n+3），

根據(jù)題意可得n（n+1）=2（2n+3）；

解得n=（不符合題意，舍去），

∴不存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形．