【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線與x 軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是且經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.

(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1①B1,024,P(-2,3;3)存在M10,2,M2(-3,2, M32,-3,M45,-18, 使得以點(diǎn) AM、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

【解析】試題分析:(1先求的直線y=x+2x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);設(shè)拋物線的解析式為y=y=ax+4)(x﹣1),然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值;

2)設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m,分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo),從而可得到線段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得SPAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值,從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M0,2)時(shí),△MAN∽△BAC;根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M﹣32)時(shí),△MAN∽△ABC; 當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),解題時(shí),需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

試題解析:(1①y=x+2

當(dāng)x=0時(shí),y=2,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣4,

∴C02),A﹣4,0),

由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣對(duì)稱,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).

②∵拋物線y=ax2+bx+cA﹣4,0),B10),

可設(shè)拋物線解析式為y=ax+4)(x﹣1),

拋物線過點(diǎn)C0,2),

∴2=﹣4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2

2)設(shè)Pm,-m2-m+2).

過點(diǎn)PPQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q

∴Qm,m+2),

∴PQ=-m2-m+2﹣m+2

=-m2﹣2m,

∵SPAC=×PQ×4,

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣m+22+4,

當(dāng)m=﹣2時(shí),△PAC的面積有最大值是4

此時(shí)P﹣2,3).

3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=Rt△BOC中,tan∠BCO=,

∴∠CAO=∠BCO,

∵∠BCO+∠OBC=90°,

∴∠CAO+∠OBC=90°,

∴∠ACB=90°

∴△ABC∽△ACO∽△CBO,

如下圖:

當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M02)時(shí),△MAN∽△BAC;

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M﹣32)時(shí),△MAN∽△ABC;

當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),設(shè)Mn,-n2-n+2),則Nn,0

∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4

當(dāng)時(shí),MN=AN,即n2+n﹣2=n+4

整理得:n2+2n﹣8=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=2

∴M2,﹣3);

當(dāng)時(shí),MN=2AN,即n2+n﹣2=2n+4),

整理得:n2﹣n﹣20=0

解得:n1=﹣4(舍),n2=5,

∴M5﹣18).

綜上所述:存在M10,2),M2﹣3,2),M32,﹣3),M45,﹣18),使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求拋物線的解析式;

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1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是   ,點(diǎn)B的坐標(biāo)是   ;

2)是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;

3)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸l向右平移與線段AB交于點(diǎn)F,與拋物線交于點(diǎn)G,當(dāng)四邊形DEFG是平行四邊形且周長(zhǎng)最大時(shí),求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo).

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2)如圖2,若45°<∠PAD90°,連接BF、BD,試求的值,并說明理由.

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