Question

【題目】已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若點(diǎn)P是拋物線上B，C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBOC的面積最大?若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積的最大值為32．（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或．

【解析】

（1）由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），過(guò)點(diǎn)P作PD//y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,），PD=，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，），進(jìn)而可得出MN=||，結(jié)合MN=3即可得出關(guān)于m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為．

當(dāng)時(shí)，，解得，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

答：拋物線的解析式為；點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為，

將，代入得解得

∴直線的解析式為．

假設(shè)存在點(diǎn)，使四邊形的面積最大，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值是32．

∵，

∴存在點(diǎn)，使得四邊形的面積最大．

答：存在點(diǎn)，使得四邊形的面積最大；

點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積的最大值為32．-

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

∴，

又∵，

∴，

當(dāng)時(shí)，，解得，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

當(dāng)或時(shí)，，解得，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

答：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或．