Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段AC、BC上，且四邊形DEFG是正方形．

（1）試探究線段AE與CG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）如圖②若將條件中的四邊形ABCD與四邊形DEFG由正方形改為矩形，AB=3，BC=4．

①線段AE、CG在（1）中的關(guān)系仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

②當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AE=CG，AE⊥CG，理由見(jiàn)解析；（2）①位置關(guān)系保持不變，數(shù)量關(guān)系變?yōu)?/span>；

理由見(jiàn)解析；②當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，CG的長(zhǎng)為或或．

【解析】試題分析： 證明≌即可得出結(jié)論.

①位置關(guān)系保持不變，數(shù)量關(guān)系變?yōu)?/span>證明根據(jù)相似的性質(zhì)即可得出.

分成三種情況討論即可.

試題解析：（1）

理由是：如圖1，∵四邊形EFGD是正方形，

∴

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∴

∴≌

∴

∵

∴

∴ 即

（2）①位置關(guān)系保持不變，數(shù)量關(guān)系變?yōu)?/span>

理由是：如圖2，連接EG、DF交于點(diǎn)O，連接OC，

∵四邊形EFGD是矩形，

∴

Rt 中，OG=OF，

Rt 中，

∴

∴D、E、F、C、G在以點(diǎn)O為圓心的圓上，

∵

∴DF為的直徑，

∵

∴EG也是的直徑，

∴∠ECG=90°，即

∴

∵

∴

∵

∴

∴

②由①知：

∴設(shè)

分三種情況：

（i）當(dāng)時(shí)，如圖3，過(guò)E作于H，則EH∥AD，

∴

∴ 由勾股定理得：

∴

（ii）當(dāng)時(shí)，如圖4，過(guò)D作于H，

∵

∴

∴

∴

∴

∴

（iii）當(dāng)時(shí)，如圖5，

∴

∴

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，CG的長(zhǎng)為或或．