【題目】如圖,已知點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D,連接CD.
求證:①AB=AD;
②CD平分∠ACE.
【答案】詳見解析.
【解析】(1)∵AD∥BE,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD;
(2)∵AD∥BE,
∴∠ADC=∠DCE,
由①知AB=AD,
又∵AB=AC,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ACD=∠DCE,
∴CD平分∠ACE;
點(diǎn)睛:角平分線問題的輔助線添加及其解題模型.
①垂兩邊:如圖(1),已知平分,過點(diǎn)作, ,則.
②截兩邊:如圖(2),已知平分,點(diǎn) 上,在上截取,則≌.
③角平分線+平行線→等腰三角形:
如圖(3),已知平分, ,則;
如圖(4),已知平分
(1) (2) (3) (4)
④三線合一(利用角平分線+垂線→等腰三角形):
如圖(5),已知平分,且,則, .
(5)
【題型】解答題
【結(jié)束】
26
【題目】如圖①,AB為半圓的直徑,O為圓心,C為圓弧上一點(diǎn),AD垂直于過C點(diǎn)的切線,垂足為D,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若AB=4,B為OE的中點(diǎn),CF⊥AB,垂足為點(diǎn)F,求CF的長;
(3)如圖②,連接OD交AC于點(diǎn)G,若,求sinE的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)CF=;(3) sinE=.
【解析】試題分析:(1)連結(jié)OC,如圖1,根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥DE,而AD⊥DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得OC∥AD,所以∠2=∠3,加上∠1=∠3,則∠1=∠2,所以AC平分∠DAB;
(2)如圖1,由B為OE的中點(diǎn),AB為直徑得到OB=BE=2,OC=2,在Rt△OCE中,由于OE=2OC,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OEC=30°,則∠COE=60°,由CF⊥AB得∠OFC=90°,所以∠OCF=30°,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OF=OC=1,CF=OF=;
(3)連結(jié)OC,如圖2,先證明△OCG∽△DAG,利用相似的性質(zhì)得==,再證明△ECO∽△EDA,利用相似比得到==,設(shè)⊙O的半徑為R,OE=x,代入求得OE=3R;最后在Rt△OCE中,根據(jù)正弦的定義求解.
試題解析:(1)連結(jié)OC,如圖1,∵DE與⊙O切于點(diǎn)C,∴OC⊥DE,
∵AD⊥DE,∴OC∥AD,∴∠2=∠3,∵OA=OC,∴∠1=∠3,
∴∠1=∠2,
即AC平分∠DAB;
(2)如圖1,
∵直徑AB=4,B為OE的中點(diǎn),
∴OB=BE=2,OC=2,
在Rt△OCE中,OE=2OC,
∴∠OEC=30°,
∴∠COE=60°,∵CF⊥AB,∴∠OFC=90°,∴∠OCF=30°,∴OF=OC=1,CF=OF=;
(3)連結(jié)OC,如圖2,∵OC∥AD,∴△OCG∽△DAG,∴==,∵OC∥AD,
∴△ECO∽△EDA,∴==,設(shè)⊙O的半徑為R,OE=x,∴=,解得OE=3R,
在Rt△OCE中,sin∠E===.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:菱形ABCD中,∠B=60°,將含60°角的直角三角板的60°角的頂點(diǎn)放到菱形ABCD的頂點(diǎn)A處,兩邊分別與菱形的邊BC,CD交于點(diǎn)F,E.
(1)(如圖1)求證:AE=AF;
(2)連結(jié)EF,交AC于點(diǎn)H(如圖2),試探究AB,AF,AH之間的關(guān)系;
(3)若AB=6,EF=2,且CE<DE,求FH的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實(shí)根,且其中一個根為另一根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方”,以下關(guān)于倍根方程的說法正確的是______(填正確序號)
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程.
②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,則4m2+5mn+n2=0.
③若點(diǎn)(p,q)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程.
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程且相異兩點(diǎn)M(1+t,s)、N(4﹣t,s)都在拋物線y=ax2+bx+c上,則方程ax2+bx+c=0必有一個根為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB交x軸于點(diǎn)B(2,0),交y軸于點(diǎn)A(0,2),直線DM⊥x軸正半軸于點(diǎn)M,交線段AB于點(diǎn)C,DM=3,連接DA,∠DAC=90°.
(1)求直線AB的解析式.
(2)求D點(diǎn)坐標(biāo)及過O、D、B三點(diǎn)的拋物線解析式.
(3)若點(diǎn)P是線段OB上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于F,交(2)中拋物線于E,連CE,是否存在P使△BPF與△FCE相似?若存在,請求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.請按要求畫圖:將△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′,則∠AB′B= ;
(2)如圖2,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=,PB=2,PC=,求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長;
(3)如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=,PB=2,PC=,求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】花園內(nèi)有一塊邊長為a的正方形土地,園藝師設(shè)計(jì)了四種不同的圖案,如下圖的A、B、C、D所示,其中的陰影部分用于種植花草.種植花草部分面積最大的圖案是( 。ㄕf明:A、B、C中圓弧的半徑均為,D中圓弧的半徑為a)
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣5,0)、B(﹣2,3)、C(﹣1,0)
(1)畫出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱的△;
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出對應(yīng)的△,
(3)若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請直接寫出在第四象限中的坐標(biāo)____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a,b是表示兩個不同點(diǎn)A,B的有理數(shù),且|a|=5,|b|=2,它們在數(shù)軸的位置如圖所示.
(1)試確定a,b的值;并求表示a,b兩數(shù)的點(diǎn)的距離;
(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上,點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B距離的3倍,則點(diǎn)C表示的數(shù)為_ ____.
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【題目】數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩個點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值.例:點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,則A、B兩點(diǎn)間的距離表示為AB=|a﹣b|.根據(jù)以上知識解題:
(1)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示3,點(diǎn)B在數(shù)軸上表示2,那么AB=_______.
(2)在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與﹣2的距離是3,那么a=______.
(3)如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4和2之間,那么|a+4|+|a﹣2|=______.
(4)對于任何有理數(shù)x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有,直接寫出最小值.如果沒有.請說明理由.
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