Question

【題目】（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′，則∠AB′B＝　 　；

（2）如圖2，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝，PB＝2，PC＝，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)；

（3）如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝，PB＝2，PC＝，求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析，45°；（2）∠BPC＝150°，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為；（3）∠BPC＝135°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可，只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可；

（2）將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；過點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝1，P′M＝，根據(jù)勾股定理即可求出答案；

（3）將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，與（1）類似：可得：∠EBP＝∠EBA＋∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝（180°90°）＝45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°＋45°＝135°

解：（1）如圖1所示，

連接BB′，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，

∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，

∴∠AB′B＝45°，

故答案為：45°；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′，如圖2，

∴AP′＝CP＝，BP′＝BP＝2，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP′＝2，∠BP′P＝60°，

∵AP′＝，AP＝，

∴AP′2+PP′2＝AP2，

∴∠AP′P＝90°，則△PP′A是 直角三角形；

∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；

過點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∴∠MP′B＝30°，BM＝1，

由勾股定理得：P′M＝，

∴AM＝，

由勾股定理得：AB＝．

（3）如圖3，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，

與（1）類似：可得：AE＝PC＝，BE＝BP＝2，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，

∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，

∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，

由勾股定理得：EP＝，

∵AE＝，AP＝，EP＝，

∴AE2+PE2＝AP2，

∴∠AEP＝90°，

∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°．

∴AB＝．