【題目】已知:拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且當(dāng)時(shí), yx的增大而減小.

1)求拋物線的解析式;

2如下圖,設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Ax軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,再作ABx軸于點(diǎn)B, DCx軸于點(diǎn)C.

①當(dāng) BC=1時(shí),直接寫出矩形ABCD的周長(zhǎng);

②設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a, b,將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù),并寫出自變量的取值范圍,判斷周長(zhǎng)是否存在最大值,如果存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1 ;(2①6 ,L= ,當(dāng)A的坐標(biāo)為(,﹣)或(,﹣),L的最大值為

【解析】試題分析:(1)由題意知:拋物線過(guò)(0,0),所以將(0,0)代入y=x2+2m﹣1x+m2﹣1即可求得m的值,再由x0時(shí),yx的增大而減小,可知對(duì)稱軸一定在y軸的右側(cè),進(jìn)而得出m的取值范圍;

2ADx軸,所以AD關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,從而得出B的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式即可求得B的縱坐標(biāo),從而得出AB的長(zhǎng)度;

Aa,b)代入y=x23x,所以b=a23a,利用對(duì)稱性可求得D的坐標(biāo)為(3a,a23a),所以AD=|32a|,然后分以下兩種情況討論:0a時(shí)和a3時(shí),分別求出La的關(guān)系式后,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出L的最值.

試題解析:解:(1)把(0,0)代入y=x2+2m1x+m210=m21,m=±1,當(dāng)x0時(shí),yx的增大而減小,對(duì)稱軸x=0,mm=1拋物線的解析式為y=x23x

2①∵ADx軸,AD關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,拋物線的對(duì)稱軸為x=,BC=1

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,x=1代入y=x2﹣3xy=﹣2,AB=2矩形ABCD的周長(zhǎng)為:2×2+2×1=6;

Aa,b)代入y=x23x,b=a23a,Aa,a23a),令y=0代入y=x23x,x=0x=3,由題意知:0a3AB=3aa2,由可知:AD關(guān)于x=對(duì)稱,D的坐標(biāo)為(3a,a23a),AD=|3aa|=|32a|,分兩種情況討論:

當(dāng)0a時(shí),AD=32a,L=2AB+AD=2a2+2a+6=2a2+,當(dāng)a=時(shí),L的最大值為,此時(shí)A的坐標(biāo)為();

當(dāng)a3時(shí),AD=2a3,L=2AB+AD==2a2+,當(dāng)a=時(shí),L的最大值為,此時(shí)A的坐標(biāo)為().

綜上所述L= ,當(dāng)A的坐標(biāo)為()或(,),L的最大值為

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專業(yè)

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93

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95

81

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