【題目】我們定義:在一個(gè)圖形上畫一條直線,若這條直線既平分該圖形的面積,又平分該圖形的周長(zhǎng),我們稱這條直線為這個(gè)圖形的等分積周線

(1)如圖1,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,請(qǐng)你在圖1中用尺規(guī)作圖作出△ABC的一條“等分積周線”;

(2)在圖1中,過(guò)點(diǎn)C能否畫出一條“等分積周線”?若能,說(shuō)出確定的方法;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,在△ABC中,AB=BC=6cm,AC=8cm,請(qǐng)你不過(guò)△ABC的頂點(diǎn),畫出△ABC的一條“等分積周線”,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)作圖見解析;

(2)不能,理由見解析;

(3)作圖見解析,理由見解析.

【解析】(1)作線段AC的中垂線BD即可得出答案;(2)若直線CD平分△ABC的面積,那么S△ADC=S△DBC,得出AC≠BC,進(jìn)而得出答案;(3)在AC上取一點(diǎn)F,使得FC=AB=6,在BC上取一點(diǎn)E,使得BE=2,作直線EF,則EF是△ABC的等分積周線,結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

解:

(1)如圖1所示:作線段AC的中垂線BD或∠B的平分線即可;

(2)不能,理由:如圖2,若直線CD平分△ABC的面積,那么S△ADC=S△DBC,

∴AD=BD,

∵AC≠BC,

∴AD+AC≠BD+BC,

∴過(guò)點(diǎn)C不能畫出一條“等分積周線”

(3)如圖4,在AC上取一點(diǎn)F,使得FC=AB=6,在BC上取一點(diǎn)E,使得BE=2,

作直線EF,則EF是△ABC的等分積周線,

理由:由作圖可得:AF=AC-FC=8-6=2,在CB上取一點(diǎn)G,使得CG=AF=2,則有AB+AF=CF+CG,

∵AB=BC,

∴∠A=∠C,

在△ABF和△CFG中

∴△ABF≌△CFG(SAS),

∴S△ABF=S△CFG,

又易得BE=EG=2,

∴S△BFE=S△EFG,

∴S△EFC=S四邊形ABEF,

AF+AB+BE=CE+CF=10,

∴EF是△ABC的等分積周線,

若如圖5,當(dāng)BM=2cm,AN=6cm時(shí),直線MN也是△ABC的等分積周線.(其實(shí)是同一條),

另外本問的說(shuō)理也可以通過(guò)作高,進(jìn)行相關(guān)計(jì)算說(shuō)明).

“點(diǎn)睛”此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖和全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí),根據(jù)題意正確分割圖形是解題關(guān)鍵.

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