Question

如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，圓心在AC上，∠A=AD=4，D為QP的中點．
（1）求證：AB=BC；
（2）求證：四邊形BOCD是菱形．

Answer 1

考點：切線的性質,菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的性質由AB是⊙O的切線得∠OBA=90°，而∠A=30°，則∠AOB=60°，由于OB=OC，則∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形外角性質得∠OCB+∠OBC=∠AOB，所以∠OCB=30°，于是有∠A=∠OCB，根據(jù)等腰三角形的判定得AB=BC；
（2）連結OD，由∠AOB=60°得到∠BOC=120°，D為

BC

的中點，根據(jù)相等的弧所對的圓心角相等得∠BOD=∠COD=60°，于是可判斷△BOD與△COD都是等邊三角形，易得OB=BD=CD=OC，于是可判斷四邊形BOCD是菱形．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOB，
∴∠OCB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；
（2）連結OD，如圖，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D為

BC

的中點，
∴∠BOD=∠COD=60°，
而OB=OC=OD，
∴△BOD與△COD都是等邊三角形，
∴BD=OB，CD=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四邊形BOCD是菱形．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了菱形的性質．