Question

如圖，△ABC中，⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且交AC于點(diǎn)D，∠DBC=∠BAC．
（1）判斷BC與⊙O有何位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，∠BAC=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接DE．由圓周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得出BC是⊙O的切線；
（2）分別求出等邊三角形DOB的面積和扇形DOB的面積，即可求出答案．

解答：解：（1）BC是⊙O的切線．理由如下：
連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接DE．
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD+∠E=90°，
∵∠DBC=∠DAB，∠DAB=∠E，
∴∠EBD+∠DBC=90°，
即OB⊥BC，
又∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴BC是O的切線；

（2）∵∠BOD=2∠A=60°，OB=OD，
∴△BOD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴S_△BOD=

3

4

×4²=4

3

，
∵S_扇形DOB=

60π×42

360

=

8

3

π，
∴S_陰影=S_扇形DOB-S_△BOD=

8

3

π-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，圓周角定理，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠EBD+∠DBC=90°和分別求出扇形DOB和三角形DOB的面積．