Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q在邊AD上，將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，使B點(diǎn)與E點(diǎn)重合，A點(diǎn)與F點(diǎn)重合，且P、E、F三點(diǎn)共線．
（1）若點(diǎn)E平分線段PF，則此時(shí)AQ的長(zhǎng)為多少？
（2）若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2，則此時(shí)AP的長(zhǎng)為多少？
（3）在“線段CE”、“線段QF”、“點(diǎn)A”這三者中，是否存在兩個(gè)在同一條直線上的情況？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）做題首先要畫(huà)示意圖，如圖．由折疊知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，進(jìn)而可由AB邊的關(guān)系知，若E平分FP，則BP=

1

3

AB，AP=

2

3

AB．由已知分析易得CP⊥QP，則△QAP∽△PBC，即由邊之間的成比例得關(guān)于AQ的方程，解出即可．
（2）由（1）易得EP=BP，F(xiàn)P=AP，PB+AP=10．線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2則表示EF=2，但有兩種可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到兩個(gè)關(guān)系式，易得結(jié)論．
（3）“線段CE”、“線段QF”、“點(diǎn)A”這三者，思考點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)即折紙?zhí)攸c(diǎn)，QF不能與A共線．當(dāng)CE與QF共線時(shí)，P點(diǎn)恰為AB中點(diǎn)，如圖，兩線段都在CD上．當(dāng)CE與A共線時(shí)，即連接對(duì)角線AC，CE在AC上，此時(shí)△AEP∽△ABC，進(jìn)而AP的長(zhǎng)易得．

解答：解：（1）由△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，得到△QFP和△PCE，則△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=

4

3

，
∴AP=

8

3

．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
在△QAP和△PBC中，

∠A=∠B ∠QPA=∠PCB

，
∴△QAP∽△PBC，
∴

QA

PB

=

AP

BC

，
∴

QA

4 3

=

8 3

2

，
∴QA=

16

9

．

（2）由題意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
當(dāng)EP-PF=2時(shí)，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PB-AP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
當(dāng)PF-EP=2時(shí)，
∵EP=PB，PF=AP，
∴AP-PB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的長(zhǎng)為1或3．

（3）①若CE與點(diǎn)A在同一直線上，如圖2，連接AC，點(diǎn)E在AC上，
在△AEP和△ABC中，

∠AEP=∠B=90° ∠EAP=∠BAC

，
∴△AEP∽△ABC，
∴

AP

EP

=

AC

BC

．
設(shè)AP=x，則EP=BP=4-x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2

5

，
∴

x

4-x

=

2 5

2

．
解得 x=5-

5

．
②若CE與QF在同一直線上，如圖3，
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是折疊、重合的幾何性質(zhì)--圖形全等，這一點(diǎn)我們可以直接使用．另外還考查了我們的思維想象能力，對(duì)于根據(jù)某點(diǎn)折疊，運(yùn)動(dòng)中圖形的變化我們需要有一個(gè)大概的認(rèn)識(shí)，做題時(shí)如果想象困難，可以利用手邊的演算紙現(xiàn)場(chǎng)理解．