Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．動(dòng)點(diǎn)P從0點(diǎn)出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求經(jīng)過0，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）試求出當(dāng)t為何值時(shí)，△OAC與△PAQ相似？
（4）是否存在某一時(shí)刻，使△PAQ為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出t的所有可能的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D點(diǎn)，由已知條件利用勾股定理求AC，利用面積法求CD，利用勾股定理求OD，確定C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求直線AC的解析

41

5

式；
（2）由上題中求得的C（

16

5

，

12

5

），可以求得B（

41

5

，

12

5

），設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx=c，把A、B、O坐標(biāo)分別代入即可求得．
（3）根據(jù)P點(diǎn)是否在線段OA上分類：當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，和當(dāng)t＞2.5時(shí)，判斷相似是否成立，利用相似比求符合條件的t的值；
（4）當(dāng)P點(diǎn)在線段OA上，在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)AP=AQ，t=

5

3

，當(dāng)P在A點(diǎn)的右側(cè)AP=AQ時(shí)t=5．點(diǎn)P在A右側(cè)：QA=QP時(shí)，t=

25

2

，點(diǎn)P在A右側(cè)：PA=PQ時(shí)，t=

40

11

．

解答：解：（1）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D點(diǎn)，在平行四邊形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面積法，得CD×OA=OC×AC，
解得CD=

4×3

5

=

12

5

，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC2-OD2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），
又∵A（5，0），
∴直線AC解析式為：y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）∵C（

16

5

，

12

5

），
∴B（

41

5

，

12

5

），
∵O（0，0），A（5，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，代入得

c=0 25a+5b=0 412a 5 + 41b 5 = 12 5

，解得

a= 15 164 b= 75 164 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=

15

164

x²-

75

164

x．

（3）當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，P在OA上，∠OAQ≠90°，
故此時(shí)△OAC與△PAQ不可能相似．
當(dāng)t＞2.5時(shí)，
①若∠APQ=90°，則△AQP∽△OAC，
故

AP

AQ

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

2t-5

t

=

4

5

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合條件．
綜上可知，當(dāng)t=

25

6

或

20

3

時(shí)，△OAC與△APQ相似．

（4）有四種情況：
①點(diǎn)P在A左側(cè)：AP=AQ時(shí)，t=

5

3

，
②點(diǎn)P在A右側(cè)：AP=AQ時(shí)，t=5，
③點(diǎn)P在A右側(cè)：QA=QP時(shí)，t=

25

2

，
④點(diǎn)P在A右側(cè)：PA=PQ時(shí)，t=

40

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用勾股定理，面積法，相似三角形的性質(zhì)解題．