Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的拋物線y=﹣ （x﹣2）2+m的頂點(diǎn)P在這條直線上，以AB為邊向下方做正方形ABCD．

（1）當(dāng)m=2時，k= ， b=；當(dāng)m=﹣1時，k= ， b=；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m的代數(shù)式分別表示k與b，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在拋物線的對稱軸上時，求對應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)正方形ABCD的頂點(diǎn)D落在拋物線上時，直接寫出對應(yīng)的直線y=kx+b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解： ；1；；﹣2
（2）

解：k= ，b=m﹣1．

證明：∵y=﹣ （x﹣2）2+m，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m）．

把x=0代入得：y=m﹣1．

∴b=m﹣1．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m﹣1．

將x=2，y=m代入得：2k+m﹣1=m，解得k=

（3）

解：如圖1所示，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為E．

∵ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=90°．

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠EBC．

在△ABO和△BCE中 ，

∴△ABO≌△BCE．

∴EC=OB=2．

∴m﹣1=2．

∴m=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+3

（4）

解：如圖2所示當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時，過點(diǎn)D作DE⊥x軸與點(diǎn)E．

由（2）可知：直線AB的解析式為y= x+m﹣1．

當(dāng)x=0時，y=m﹣1，當(dāng)y=0時，x=2﹣2m．

∴OA=2m﹣2，OB=m﹣1．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB=1﹣m，ED=AO=2m﹣2．

∴D（1﹣m，2﹣2m）．

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴2﹣2m=﹣ （﹣m﹣1）2+m，解得m=9或m=1（舍去）．

∴直線的解析式為y= x+9．

如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時，

當(dāng)x=0時，y=m﹣1，當(dāng)y=0時，x=2﹣2m．

∴OA=2﹣2m，OB=1﹣m．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB，ED=AO．

∴D（3﹣3m，2m﹣2）．

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴2m﹣2=﹣ （1﹣3m）2+m，解得m=﹣ 或m=1（舍去）．

∴直線的解析式為y= x﹣ ．

綜上所述，直線的解析式為y= x+9或y= x﹣

【解析】解：（1）當(dāng)m=2時，y=﹣ （x﹣2）2+2，
∴P（2，2）．
把x=0代入得：y=1，
∴B（0，1）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，2）代入得：2k+1=2，解得：k= ．
∴k= ，b=1．
當(dāng)m=﹣1時，y=﹣ （x﹣2）2﹣1．
∴P（2，﹣1）．
把x=0代入得：y=﹣2，
∴B（0，﹣2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx﹣2，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，﹣1）代入得：2k﹣2=﹣1，解得：k= ．
∴k= ，b=﹣2．
故答案為： ；1； ；﹣2．
（1）將m的值代入可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將x=0代入求得y的值，從而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；（2）由函數(shù)解析式得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，將x=0代入可求得y的值，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得AB的解析式，從而得到k、b的值；（3）過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為E．然后證明△ABO≌△BCE，從而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得點(diǎn)m的值；（4）當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時，過點(diǎn)D作DE⊥x軸與點(diǎn)E．然后證明△ABO≌△DAE，從而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可求得m的值，從而得到直線AB的解析式；當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時，證明△ABO≌△DAE，從而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可求得m的值，從而得到直線AB的解析式．