Question

5．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則MN+BN的最小值為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，連接AB′交DC于P，連接BM，再根據(jù)矩形、軸對(duì)稱、等腰三角形的性質(zhì)得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，運(yùn)用勾股定理求出PA的長(zhǎng)，然后由cos∠B′AM=cos∠APD，求出AM的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，
連接AB′交DC于P，連接BN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是B′，
∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，則PC=x，PD=8-x．
在Rt△ADP中，∵PA²=PD²+AD²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∵cos∠B′AM=cos∠APD，
∴AM：AB′=DP：AP，
∴AM：4=1.5：2.5，
∴AM=$\frac{12}{5}$，
∴B′M=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴MN+BN的最小值=$\frac{16}{5}$．
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)M、N的位置是解答此題的關(guān)鍵．