Question

【題目】如圖，將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AB′，邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AC′，連結(jié)B′C′，當(dāng)α+β＝60°時(shí)，我們稱(chēng)△AB′C’是△ABC的“蝴蝶三角形”，已知一直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，那么它的“蝴蝶三角形”的面積為_________.

Answer 1

【答案】+1或1

【解析】

分兩種情形分別畫(huà)出圖形求解即可．

如圖1中，當(dāng)△AB′C′是△ABC的“雙展三角形”時(shí)，作C′D⊥B′A交B′A的延長(zhǎng)線于D，在C′D上取一點(diǎn)F，使得FA＝FC，連接AF．

∵B∠B′AC′＝60°+45°＝105°，

∴∠DAC′＝75°，

∵∠D＝90°，

∴∠DC′A＝15°，

∵FA＝FC′，

∴∠FAC＝∠FC′A＝15°，

∴∠AFD＝∠FAC+∠FC′A＝30°，設(shè)AD＝x，則AF＝FC′＝2x．DF＝x，

∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，

∴AC＝AC′＝2，

在Rt△ADC′中，則有x2+（x+2x）2＝（2）2，

解得x＝﹣1（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴DC′＝2x+x＝+1，

∴S△AB′C′＝AB′C′D＝+1．

如圖2中，當(dāng)△A′BC′是△ABC的“雙展三角形”時(shí)，作C′D⊥B′A交A′B的延長(zhǎng)線于D．

由題意：∠A′BC′＝60°+90°＝150°，

∴∠C′BD＝30°，

∴C′D＝BC′＝1，

∴S△A′BC′＝BA′C′D＝1，

綜上所述，滿足條件的+1或1．

故答案為+1或1．