Question

【題目】已知拋物線，直線，直線

（1）當m=0時，若直線經(jīng)過此拋物線的頂點，求b的值

（2）將此拋物線夾在之間的部分（含交點）圖象記為，若，

①判斷此拋物線的頂點是否在圖象上，并說明理由；

②圖象上是否存在這樣的兩點：，其中？若存在，求相應的和的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）b=-2；（2）①不在，理由詳見解析；②不存在，理由詳見解析.

【解析】

(1) 把m=0代入即可求出拋物線解析式，則可得頂點坐標為，把頂點坐標代入，可求得b的值；

（2）①將拋物線化成頂點式 后，得出拋物線頂點為（m，2m-2）.當x=m時，對于，對于由于，可得 頂點（m，2m-2）在的下方，即可得出結論；②設直線與拋物線交于A、B兩點，且，由方程 ，可得，此時 ；設直線與拋物線交于C，D兩點，且 ，由方程，可得 ，此時 可得 ，可判斷 由于，即點A在拋物線對稱軸的左側，則在拋物線對稱軸的右側，必存在點A的對稱點，其中， 所以 ，由于拋物線的開口向上，可得當x<m時，y隨x的增大而減小，由于拋物線頂點在的下方，故點C也在拋物線對稱軸左側，設 是拋物線上A、C兩點之間的任意一點，則有 ，故 ，又因為在拋物線上必存在其對稱點 ，其中 ，故 ，故拋物線上A、C兩點之間的任意點的對稱點都在點D下方.同理，拋物線上B、D兩點之間的部分所有點的對稱點都在點A上方,所以圖像C上不存在這樣的兩點：和，其中

（1）解：當m=0時，拋物線：

則頂點坐標為（0，-2）

把（0，-2）代入，可得b=-2

（2）①拋物線的頂點不在圖像C上，理由如下：

因為 ，

所以拋物線頂點為（m，2m-2）

當x=m時，對于，對于

因為

所以

所以

即頂點在的下方

所以拋物線的頂點不在圖像C上

②解：設直線與拋物線交于A、B兩點，且

解得

因為 ，且對于，y隨x的增大而增大

所以

所以，此時

設直線與拋物線交于C，D兩點，且

所以

所以

因為

所以，

所以

因為 ，且對于，y隨x的增大而增大，

所以

所以 ，此時

因為 ，

又因為

所以

又因為

所以，即

因為，即點A在拋物線對稱軸的左側，則在拋物線對稱軸的右側，必存在點A的對稱點，其中

所以

因為拋物線的開口向上，

所以當x<m時，y隨x的增大而減小，

因為拋物線頂點在的下方，故點C也在拋物線對稱軸左側，

設 是拋物線上A、C兩點之間的任意一點，則有

所以

又因為在拋物線上必存在其對稱點 ，其中

所以

也即拋物線上A、C兩點之間的任意點的對稱點都在點D下方

同理，拋物線上B、D兩點之間的部分所有點的對稱點都在點A上方

所以圖像C上不存在這樣的兩點：和，其中