Question

【題目】已知：正方形ABCF中，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D在CF上，AB=4，CD=1．

（1）判斷△AED的形狀，并證明；

（2）AC交DE于點(diǎn)N，M在AE上，且滿足BM2﹣ME2=EN2﹣CN2，求證：BM⊥AC；

（3）若△APE是以AE為斜邊的等腰直角三角形，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】（1）△AED是直角三角形，證明見解析；（2）證明見解析；（3）BP=或．

【解析】

（1）根據(jù)△AED是直角三角形，并通過AE2+DE2＝AD2來進(jìn)行判斷；

（2）由題意延長BM交AC于H，延長NE到G，使EG＝EN，連接BG、MG，并通過構(gòu)造ME是線段GN的垂直平分線，可得MG＝MN，進(jìn)而通過BM2﹣ME2＝EN2﹣CN2可得BM2+CN2＝MG2，從而得到∠MBG＝90°；由構(gòu)造所得△BEG≌△CEN，從而證明BG∥AC，所以∠AHB＝90°，從而證明BM⊥AC；

（3）根據(jù)題意，運(yùn)用矩形和正方形性質(zhì)以及分類討論的思維分兩種情形分別進(jìn)行分析求解即可．

解：（1）△AED是直角三角形．

證明：∵正方形ABCF，AB=4，

∴BC=CF=AF=AB=4，∠B=∠C=∠F=90°，

∵CD=1，

∴DF=CF﹣CD=3，

∵E為BC中點(diǎn)，

∴BE=CE=2，

在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得AE2=AB2+BE2=20

在Rt△CDE中，∠C=90°，由勾股定理得DE2=CE2+CD2=5

在Rt△AFD中，∠F=90°，由勾股定理得AD2=AF2+DF2=25

∵AE2+DE2=20+5=25=AD2，

∴△AED是直角三角形．

（2）如圖，延長BM交AC于H，延長NE到G，使EG=EN，連接BG、MG

由（1）知，∠AED=90°，

∴ME⊥GN，

又∵EG=EN，

∴MG=MN，

∵BM2﹣ME2=EN2﹣CN2，

∴BM2+CN2=EN2+ME2=MN2，

∴BM2+CN2=MG2，

∴△BMG是直角三角形，且∠MBG=90°，

∵E為BC中點(diǎn)，

∴BE=CE，

在△BEG和△CEN中

，

∴△BEG≌△CEN(SAS)，

∴∠GBE=∠NCE，

∴BG∥AC，

∴∠AHB=∠MBG=90°，

∴BM⊥AC.

（3）BP=3或．

解析如下：

如圖，以AE為斜邊作等腰直角三角形APE，連接BP．作PM⊥AB于M，作PN⊥BE于N，

∴∠AMP=∠PNE=90°，PA=PE，

∵∠ABE=∠APE=90°，

∴∠BAP+∠BEP=180°，

∵∠BEP+∠PEN=180°，

∴∠BAP=∠PEN，

在△AMP和△ENP中

，

∴△AMP≌△ENP(AAS)，

∴AM=EN，PM=PN，

∵∠ABE=∠PMB=∠PNE=90°，

∴四邊形PMBN是矩形，

又∵PM=PN，

∴四邊形PMBN是正方形，

∴BM=BN，

∵BM+BN=AB﹣AM+BE+EN=AB+BE=6，

∴BM=BN=3，

∵BP是正方形PMBN的對(duì)角線，

∴BPBM=3，

當(dāng)點(diǎn)P在直線AE的下方時(shí)，同法可得BP'BM'，

綜上所述滿足條件的BP的長為3或．