【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,四邊形ABCO為矩形,AB=16,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,ABBC=43,點(diǎn)EF分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合),且∠1=∠2

1)求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)求證:AEFDCE;

3)當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】1AC=20D的坐標(biāo)為(12,0);(2)證明見(jiàn)解析;(3E8,0)或E,0).

【解析】

1)由tanACB的值,求出cosACB的值,再由矩形ABCO,以及AB的長(zhǎng),求出BCAC的長(zhǎng),利用對(duì)稱性確定出D坐標(biāo)即可;
2)由對(duì)稱性得到∠CDE=CAO,利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等,利用兩角相等的三角形相似即可得證;
3)當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí),有以下三種情況:當(dāng)CE=EF;當(dāng)EF=FC;當(dāng)CE=CF時(shí),利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出E坐標(biāo)即可.

1)由題意tanACB=,
cosACB=,
∵四邊形ABCO為矩形,AB=16
BC==20,
A-12,0),
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,
D12,0);
2)∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴∠CDE=CAO,
∵∠CEF=ACB,∠ACB=CAO,
∴∠CDE=CEF,
又∵∠AEC=AEF+CEF=CDE+DCE,
∴∠AEF=DCE
∴△AEF∽△DCE;
3)當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí),有以下三種情況:
①當(dāng)CE=EF時(shí),
∵△AEF∽△DCE
∴△AEF≌△DCE,
AE=CD=20,
OE=AE-OA=20-12=8,
E8,0);
②當(dāng)EF=FC時(shí),過(guò)點(diǎn)FFMCEM,則點(diǎn)MCE中點(diǎn),

CE=2ME=2EFcosCEF=2EFcosACB=EF,
∵△AEF∽△DCE
,即,
AE=,
DE=AE-OA=
E,0);
③當(dāng)CE=CF時(shí),則有∠CFE=CEF
∵∠CEF=ACB=CAO,
∴∠CFE=CAO,即此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,這與已知條件矛盾,
綜上所述,E8,0)或(,0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊等腰直角三角板(△ABC)按如圖所示放置,若AO2,OC1,∠ACB90°.

1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)是 

2)如果拋物線lyax2ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,試求拋物線l的解析式;

3)把△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1是否在拋物線l上?為什么?

4)在x軸上方,拋物線l上是否存在一點(diǎn)P,使由點(diǎn)AC,BP構(gòu)成的四邊形為中心對(duì)稱圖形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)P在以C(2,0)為圓心,1為半徑的⊙C上,QAP的中點(diǎn),已知OQ長(zhǎng)的最小值為,則k的值為( )

A.B.C.D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖2 - 4所示,長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為5 cm,寬為4 cm,如果將它的長(zhǎng)和寬都減去x(cm),那么它剩下的小長(zhǎng)方形AB′C′D′的面積為y(cm2)

(1)寫出yx的函數(shù)關(guān)系式;

(2)上述函數(shù)是什么函數(shù)?

(3)自變量x的取值范圍是什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中,盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同,再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中.

(1)攪勻后從中摸出1個(gè)盒子,求摸出的盒子中是型矩形紙片的概率;

(2)攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子(不放回),再?gòu)挠嘞碌膬蓚(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子,求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率(不重疊無(wú)縫隙拼接).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】四邊形ABCD中,AB=BC,B=∠C=90°,PBC邊上一點(diǎn),APPDEAB邊上一點(diǎn),BPE=∠BAP

1 如圖1,若AE=PE,直接寫出=______;

2 如圖2,求證:AP=PDPE;

3 如圖3,當(dāng)AE=BP時(shí),連BD,則=______,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分別為ABC三邊的長(zhǎng).

(1)如果x=-1是方程的根,試判斷ABC的形狀,并說(shuō)明理由;

(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試判斷ABC的形狀,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線EFAD、ACBC分別交于點(diǎn)E、O、F

1)求證:四邊形AFCE是菱形;

2)若AB=5,BC=12,EF=6,求菱形AFCE的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于F.

(1)證明:PC=PE;

(2)求CPE的度數(shù);

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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