【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊等腰直角三角板(△ABC)按如圖所示放置,若AO2OC1,∠ACB90°.

1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)是 

2)如果拋物線lyax2ax2經(jīng)過點(diǎn)B,試求拋物線l的解析式;

3)把△ABC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,頂點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1是否在拋物線l上?為什么?

4)在x軸上方,拋物線l上是否存在一點(diǎn)P,使由點(diǎn)A,C,B,P構(gòu)成的四邊形為中心對稱圖形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1);(2yx2x2;(3)點(diǎn)A1在拋物線上;理由見解析;(4)存在,點(diǎn)P(﹣2,1).

【解析】

1)首先過點(diǎn)BBDx軸,垂足為D,通過證明BDC≌△COA即可得BDOC1,CDOA2,從而得知B坐標(biāo);

(2)利用待定系數(shù)法,將B坐標(biāo)代入即可求得;

(3)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,過點(diǎn)作x軸的垂線,構(gòu)造全等三角形,求出的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可進(jìn)行判斷;

(4)由拋物線的解析式先設(shè)出P的坐標(biāo),再根據(jù)中心對稱的性質(zhì) 與線段中點(diǎn)的公式列出方程求解即可。

1)如圖1,過點(diǎn)BBDx軸,垂足為D,

∵∠BCD+ACO90°,∠AC0+OAC90°,

∴∠BCD=∠CAO

又∵∠BDC=∠COA90°,CBAC

在△BDC和△COA中:

∵∠BDC=∠COA,∠BCD=∠CAOCB=AC,

∴△BDC≌△COAAAS),

BDOC1,CDOA2,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(31);

2)∵拋物線yax2ax2過點(diǎn)B31),

19a3a2

解得:a,

∴拋物線的解析式為yx2x2

3)旋轉(zhuǎn)后如圖1所示,過點(diǎn)A1A1Mx軸,

∵把△ABC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

∴∠ABC=∠A1BC90°,

A1BC共線,

在三角形BDC和三角形A1CM中:

∵∠BDC=∠A1MC=90°,∠BCD=∠A1CM,A1C=BC,

∴△BDC≌△A1CM

CMCD312,A1MBD1,

OM1,

∴點(diǎn)A1(﹣1,﹣1),

把點(diǎn)x=﹣1代入yx2x2,

y=﹣1

∴點(diǎn)A1在拋物線上.

4)設(shè)點(diǎn)Pt, t2t2),

點(diǎn)A0,2),點(diǎn)C1,0),點(diǎn)B3,1),

若點(diǎn)P和點(diǎn)C對應(yīng),由中心對稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得:

,

無解,

若點(diǎn)P和點(diǎn)A對應(yīng),由中心對稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得:

,

無解,

若點(diǎn)P和點(diǎn)B對應(yīng),由中心對稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得:

,

解得:t=﹣2,

t2t21

所以:存在,點(diǎn)P(﹣2,1).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】實踐與探究

在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形AOBC是矩形,點(diǎn)(0,0),點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B(0,3).以點(diǎn)A為中心,順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點(diǎn)O,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D,EF.

(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時,ADBC交于點(diǎn)H.

①求證:ΔADBΔAOB

②求點(diǎn)H的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸、軸分別交于點(diǎn)、,拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn),且對稱軸為直線.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如果點(diǎn)是這拋物線上位于軸下方的一點(diǎn),且△的面積是.求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義符號min{ab}的含義為:當(dāng)ab時,min{a,b}=b;當(dāng)ab時,min{ab}=a,如:min{1,-2=-2min{-3,-2=-3,則方程min{x,-x}=x2-1的解是________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,⊙O的半徑為1,A,PB,C是⊙O上的四個點(diǎn).∠APC=CPB=60°

1)判斷ABC的形狀: ;

2)試探究線段PAPB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

3)當(dāng)點(diǎn)P位于的什么位置時,四邊形APBC的面積最大?求出最大面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),且經(jīng)過點(diǎn)(-1,-8).

1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

3)若自變量x的取值范圍是,求對應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】學(xué)習(xí)投影后,小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度,并探究影子長度的變化規(guī)律.如圖,在同一時間,身高為1.6 m的小明(AB)的影子BC長是3 m,而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點(diǎn),并測得HB=6 m.

(1)請在圖中畫出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置G;

(2)求路燈燈泡的垂直高度GH;

(3)如果小明沿線段BH向小穎(點(diǎn)H)走去,當(dāng)小明走到BH的中點(diǎn)B1處時,其影子長為B1C1;當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的B2處時,其影子長為B2C2;當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的B3,…,按此規(guī)律繼續(xù)走下去,當(dāng)小明走剩下路程的Bn處時,其影子BnCn的長為  m.(直接用含n的代數(shù)式表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,RtACB中,∠C90°,點(diǎn)DAC上,∠CBD=∠A,過A、D兩點(diǎn)的圓的圓心OAB.

1)判斷BD所在直線與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)若AE4,∠A30°,求圖中由BD、BE、弧DE圍成陰影部分面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,四邊形ABCO為矩形,AB=16,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,ABBC=43,點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合),且∠1=∠2

1)求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)求證:AEFDCE

3)當(dāng)EFC為等腰三角形時,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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