【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.

(1)如圖1,若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F,求證:△ADF∽△ABC;

(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;

(3)如圖3,若α=45°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)成立,理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,夾角相等兩三角形相似證明;
(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可;
(3)作點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF、CF,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可.

試題解析:

證明:(1)∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F,

∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,

又∵∠BAC=2∠DAE,

∴∠BAC=∠DAF,

∵AB=AC,

=,

∴△ADF∽△ABC;

(2)∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F,

∴EF=DE,AF=AD,

∵α=45°,

∴∠BAD=90°﹣∠CAD,

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中,

∴△ABD≌△ACF(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,

在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,

所以,DE2=BD2+CE2;

(3)DE2=BD2+CE2還能成立.

理由如下:作點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF、CF,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得,EF=DE,AF=AD,

∵α=45°,

∴∠BAD=90°﹣∠CAD,

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中,,

∴△ABD≌△ACF(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,

在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,

所以,DE2=BD2+CE2

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(2)小華和小明利用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲,兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),停止后,指針各指向一個(gè)數(shù)字,若兩數(shù)字之積為非負(fù)數(shù)則小華勝;否則,小明勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)你利用列舉法說(shuō)明理由.

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(2)將ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AC的對(duì)應(yīng)邊為DE,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)畫(huà)出(2)中的DEF,并和ABC同時(shí)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

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時(shí)間(小時(shí))

5

6

7

8

人數(shù)

10

15

20

5

則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時(shí)間是(
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