Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過(guò)對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB、CD邊于點(diǎn)E、F．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）求證：△ADE≌△CBF；

（3）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，直接寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）EF=．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）根據(jù)△BOE≌△DOF可知DE=BF，由AD=BC，∠DAE=∠BCF=90°即可證明△ADE≌△CBF；（3）設(shè)BE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）∵四邊形BEDF是平行四邊形，

∴DE=BF，

∵矩形ABCD，

∴∠DAE=∠BCF=90°，AD=BC，

在Rt△ADE與Rt△CBF中

，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；

（3）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD⊥EF，

設(shè)BE=x，則 DE=x，AE=6﹣x，

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

∴x2=42+（6﹣x）2，

解得：x=，

∵BD= ，

∴OB=BD=，

∵BD⊥EF，

∴EO=，

∴EF=2EO=．