Question

【題目】如圖，為中的一條射線，點(diǎn)在邊上，于，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

求證：四邊形為矩形；

若，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），理由詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得PH∥MD，再根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行可得PM∥QR，然后求出四邊形PQRM是平行四邊形，再求出∠MPQ=90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；

（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分可得PS=PR，然后求出OP=PS，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠POS=∠PSO，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠SQR=∠BON，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PSO=2∠SQR，然后整理即可得解．

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形為矩形；

．理由如下：

∵四邊形為矩形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

即．