Question

6．如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，點D在AC的垂直平分線上，射線BD與BC所夾銳角為30°，連接AD．

（1）求證：AB=AD；
（2）如圖2，AD交BC于點E，將∠CBD沿BD翻折交CD的延長線于點F，直接寫出DF與DE的數(shù)量關(guān)系DF=DE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長AB，CD交于點H，若∠H=30°，HB=b，△ABE的面積為a，求AB的長（用含a，b的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CE⊥BD的延長線于E，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，取AC中點G，連接DC、DG、FG，先證明E、F、G三點共線，再證明D、G、C、E四點共圓，即可證明△ACD是等邊三角形解決問題．
（2）如圖2中，結(jié)論：DF=DE．在BC上截取BN=BF，先證明△DBN≌△DBF，得DF=DN，再證明DN=DE即可．
（3）如圖3中，連接EF，作EQ⊥AB于Q，先證明AE=HF，HB=HF，然后在RT△AQE中理由30度角的性質(zhì)即可就問題．

解答 （1）證明：如圖1中，作CE⊥BD的延長線于E，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，取AC中點G，連接DC、DG、FG．
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠CEF+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CEF=∠CBE=30°，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=CH，
又∵CF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}CH$，
∴點F是CH中點，
∵第G是AC中點，
∴FG∥AH，
∵AH⊥BC，∴FG⊥BC于F，又EF⊥BC于F，
∴E、F、G三點共線，
∵的D在線段AC的垂直平分線上，
∴DG⊥AC，AD=CD，∠ADG=∠CDG，
∴∠DGC=∠CED=90°，
∴D、G、C、E四點共圓，
∴∠CDG=∠CED=30°，
∴∠ADC=2∠CDG=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴AD=AC=DC，∵AB=AC，
∴AB=AD．
（2）如圖2中，結(jié)論：DF=DE．
理由：在BC上截取BN=BF，
在△BDN和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{∠DBN=∠DBF}\\{BN=BF}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△DBF，
∴DN=DF，∠BFD=∠BND，
∵∠ADC=∠EBF，
∴B、F、D、E四點共圓，
∴∠BFD+∠BED=180°，
∵∠BND+∠DNE=180°，
∴∠DNE=∠DEN，
∴DN=DE，
∴DF=DE．
（3）如圖3中，連接EF，作EQ⊥AB于Q．
∵DE=DF，∠ADC=60°，
∴∠DFE=∠DEF=30°，
∵∠H=30°，
∴∠H=∠DFE，
∴EF∥AB，
∴∠DAH=∠DEF=30°=∠H，
∴∠BAC=∠DAH+∠DAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴DH=DA，
∵DE=DF，
∴FH=AE，
∵∠H=30°，∠FBH=180°-∠ABC-∠CBF=75°，
∴∠BFH=180°-∠H-∠HBF=75°，
∴∠HBF=∠HFB，
∴HB=HF=AE=b，
在RT△AQE中，∵AE=b，∠QAE=30°，
∴QE=$\frac{1}{2}$b，
∵S_△ABE=a
∴$\frac{1}{2}$•AB•QE=a，
∴AB=$\frac{4a}$．

點評 本題考查四點共圓的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30度角的性質(zhì)、第一個問題的證明關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造四點共圓，第二個問題也是利用四點共圓的性質(zhì)證明角相等，綜合性比較強，屬于中考壓軸題．