分析 過點G作GH∥CD交BF于H,如圖,利用CE∥GH得到BC:CH=BE:EG=49:15,則設BC=49x,CH=15x,則FH=CF-CH=6-15x,再證明△BCE∽△BHG,利用相似比得到GH=$\frac{64}{49}$EC,接著證明△FGH∽△FDC,利用相似比得到GH=49x•$\frac{6-15x}{6}$,則EC=$\frac{4{9}^{2}x(2-5x)}{3×64}$,然后利用AD∥CF,根據平行線分線段成比例定理得到CE=$\frac{6•49x}{49x+6}$,于是可建立方程$\frac{4{9}^{2}x(2-5x)}{3×64}$=$\frac{6•49x}{49x+6}$,整理得5×(49x)2-68×49x+180=0,設t=49x,則5t2-68t+180=0,解得t1=$\frac{18}{5}$,t2=10,接著利用DE>CE得到t=10,最后利用AD∥BF,根據平行線分線段長比例定理可求出DN的長.
解答 解:過點G作GH∥CD交BF于H,如圖,
∵在菱形ABCD中,∠ABC=120°,
∴AB=AD=BC=CD=BD,
∵CE∥GH,
∴BC:CH=BE:EG=49:15,
設BC=49x,CH=15x,則FH=CF-CH=6-15x,
∵CE∥GH,
∴△BCE∽△BHG,
∴$\frac{CE}{GH}$=$\frac{BE}{BG}$=$\frac{49}{64}$,即GH=$\frac{64}{49}$EC,
∵GH∥CD,
∴△FGH∽△FDC,
∴$\frac{GH}{CD}$=$\frac{HF}{FC}$,即$\frac{GH}{49x}$=$\frac{6-15x}{6}$,
∴GH=49x•$\frac{6-15x}{6}$,
∴$\frac{64}{49}$x•EC=49x•$\frac{6-15x}{6}$,
∴EC=$\frac{4{9}^{2}x(2-5x)}{3×64}$,
∵AD∥CF,
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{AD}{CF}$,即$\frac{49x-CE}{CE}$=$\frac{49x}{6}$,解得CE=$\frac{6•49x}{49x+6}$,
∴$\frac{4{9}^{2}x(2-5x)}{3×64}$=$\frac{6•49x}{49x+6}$,
整理得5×(49x)2-68×49x+180=0,
設t=49x,
則5t2-68t+180=0,
解得t1=$\frac{18}{5}$,t2=10,
∵DE>CE,
∴AD>CF,
∴t=10,
即AD=BD=BC=10,
∵AD∥BF,
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{10}{10+6}$=$\frac{5}{8}$,
∴DN=$\frac{5}{13}$BD=$\frac{50}{13}$.
故答案為$\frac{50}{13}$.
點評 本題考查了相似三角形的判定與性質:在判定兩個三角形相似時,應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發(fā)揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形.也考查了菱形的性質.解決本題的關鍵是求出菱形的邊長.
科目:初中數學 來源: 題型:填空題
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