Question

17．如圖，⊙A與菱形ABCD的邊BC相切于點E，與邊AB相交于點F，連結(jié)EF
（1）求證：CD是⊙A的切線；
（2）若⊙A半徑為$\sqrt{5}$，tan∠BEF=$\frac{1}{2}$，求菱形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CD于H，連結(jié)DE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得AE⊥BC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC平分∠BCD，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得AE=AH=DE，然后根據(jù)切線的判斷定理即可得到⊙A與邊CD也相切；
（2）延長BA角圓于G，連接GE，則∠FEG=90°，∠G=∠BEF，根據(jù)已知條件得到EF=2，EG=4，通過△BEF∽△BEG，得到$\frac{BE}{BG}=\frac{BF}{BE}=\frac{EF}{EG}=\frac{1}{2}$，列方程求得BE=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：作AH⊥CD于H，連結(jié)AE，AC，如圖，
∵BC與⊙A相切于點E，
∴AE⊥BC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠BCD，
而AE⊥BC，AH⊥CD，
∴AE=AH，
即CD為⊙A的半徑，
∴⊙A與邊CD也相切；

（2）解：延長BA角圓于G，連接GE，
則∠FEG=90°，∠G=∠BEF，
∵⊙A半徑為$\sqrt{5}$，
∴FG=2$\sqrt{5}$，
∵tan∠BEF=tan∠G=$\frac{1}{2}$，
∴EF=2，EG=4，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BEG，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{BF}{BE}=\frac{EF}{EG}=\frac{1}{2}$，
∴BG=2BE，BE²=BF•BG，
即BE²=（BG-2$\sqrt{5}$）•BG=（2BE-2$\sqrt{5}$）•2BE，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∴菱形ABCD的邊長是$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，作出恰當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．