【題目】如圖,直線y=x+3與兩坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn),且交x軸的正半軸于點(diǎn)C.
(1)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)B(0,3),A(﹣3,0);(2)拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,4);(3)存在,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(2,﹣5).
【解析】試題分析:(1)分別令x=0和y=0代入y=x+3中可得結(jié)論;
(2)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,根據(jù)配方法可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)分兩種情況:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,﹣t2﹣2t+3).根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得:AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.
①如圖1,如果點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),那么AB2+BP2=AP2;
②如圖2,如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),那么AP2+AB2=BP2,列方程可得結(jié)論.
試題解析:解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴B(0,3),當(dāng)y=0時(shí),x+3=0,x=﹣3,∴A(﹣3,0);
(2)把A(﹣3,0),B(0,3)分別代入y=﹣x2+bx+c得:
,解得: ,∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,4)
(3)存在.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,﹣t2﹣2t+3).
∵A(﹣3,0),B(0,3),∴AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.
當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形時(shí),可分兩種情況:
①如圖1,如果點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),那么AB2+BP2=AP2
(事實(shí)這里的點(diǎn)P與點(diǎn)D 重合)
即18+t2+(﹣t2﹣2t)2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,整理得t2+t=0,解得t1=﹣1,t2=0(不合題意舍去),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4);
②如圖2,如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),那么AP2+AB2=BP2,即18+(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2=t2+(﹣t2﹣2t)2,整理得t2+t﹣6=0,解得t1=2,t2=﹣3(不合題意舍去),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣5);
綜上所述:所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(2,﹣5).
另解:如圖3,作DE⊥y軸于點(diǎn)E,發(fā)現(xiàn)∠ABO=∠DBE=45°
可知頂點(diǎn)D滿足△DAB是直角三角形,這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4);
作PA⊥AB交拋物線于點(diǎn)P,作PF⊥x軸于點(diǎn)F,發(fā)現(xiàn)∠PAF=∠APF=45°,由PF=AF求出另一點(diǎn)P為(2,﹣5).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的方格紙中,每個(gè)小正方形的邊長為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫做格點(diǎn).(請利用網(wǎng)格作圖,畫出的線請用鉛筆描粗描黑)
(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線,并標(biāo)出垂線所過格點(diǎn)E;
(2)過點(diǎn)C畫AB的平行線CF,并標(biāo)出平行線所過格點(diǎn)F;
(3)直線CE與直線CF的位置關(guān)系是 ;
(4)連接AC,BC,則三角形ABC的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F是ABCD對角線AC上兩點(diǎn),且AE=CF.
(1)求證:四邊形BFDE是平行四邊形.
(2)如果把條件AE=CF改為BE=DF,試問四邊形BFDE還是平行四邊形嗎?為什么?
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【題目】把一個(gè)足球垂直地面向上踢,(秒)后該足球的高度(米)適用公式.
(1)經(jīng)多少秒時(shí)足球的高度為20米?
(2)小明同學(xué)說:“足球高度不可能達(dá)到21米!”你認(rèn)為他說得對嗎?請說明理由.
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【題目】某手機(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃同時(shí)購進(jìn)一批甲、乙兩種型號的手機(jī),已知每部甲種型號的手機(jī)進(jìn)價(jià)比每部乙種型號的手機(jī)進(jìn)價(jià)多200元,且購進(jìn)3部甲型號手機(jī)和2部乙型號手機(jī),共需要資金9600元;
(1)求甲、乙型號手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為多少元?
(2)該店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種型號的手機(jī)共20臺(tái)進(jìn)行銷售,現(xiàn)已有顧客預(yù)定了8臺(tái)甲種型號手機(jī),且該店投入購進(jìn)手機(jī)的資金不多于3.8萬元,請求出有幾種進(jìn)貨方案?并請寫出進(jìn)貨方案.
(3)售出一部甲種型號手機(jī),利潤率為30%,乙種型號手機(jī)的售價(jià)為2520元.為了促銷,公司決定每售出一臺(tái)乙型號手機(jī),返還顧客現(xiàn)金m元充話費(fèi),而甲型號手機(jī)售價(jià)不變,要使(2)中所有方案獲利相同,求m的值.
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【題目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F.
(1)證明四邊形ADCF是菱形;
(2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)計(jì)算:①×(﹣12);
②﹣12016﹣1÷6×[3﹣(﹣3)2]﹣|﹣2|;
(2)化簡求值:2(a2b+ab2)﹣(4a2b+2ab2)﹣3(ab2﹣a2b),其中a=1,b=﹣1.
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【題目】(1)a、b為有理數(shù),且a+b、a﹣b在數(shù)軸上如圖所示:
①判斷:a 0,b 0,a b(用“>”“<”“=”填空).
②若x=|2a+b|﹣3|b|﹣|3﹣2a|+2|b﹣1|,求(2x2-+3x)﹣4(x﹣x2+)的值;
(2)若c為有理數(shù),,且ab﹣bc+ac=﹣99,求(3a﹣4b+2c)2+abc的值.
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【題目】育才羽毛球隊(duì)需要購買10支羽毛球拍和盒羽毛球(),羽毛球拍市場價(jià)為150元/支,羽毛球?yàn)?/span>30元/盒,滔博運(yùn)動(dòng)店的優(yōu)惠方案為:所有商品九折,勁浪運(yùn)動(dòng)店的優(yōu)惠方案為:買1支羽毛球拍送1盒羽毛球,其余原價(jià)銷售.
(1)分別用的代數(shù)式表示在滔博運(yùn)動(dòng)店和勁浪運(yùn)動(dòng)店購買所有物品的費(fèi)用;
(2)請計(jì)算說明買多少羽毛球時(shí),到兩運(yùn)動(dòng)店購買一樣省錢.
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